Kelas 11mathGeometri
Diketahui dua buah lingkaran, yaitu lingkaran dengan
Pertanyaan
Diketahui dua buah lingkaran, yaitu lingkaran dengan persamaan (x+5)^2+(y+2)^2=144 dan lingkaran dengan persamaan (x-7)^2+(y-3)^2=25. a. Periksa apakah kedua lingkaran tersebut beririsan saling tegak lurus? b. Hitung luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut.
Solusi
Verified
a. Ya, kedua lingkaran beririsan tegak lurus. b. Luas irisan = $144 ext{arccos}(12/13) + 25 ext{arccos}(5/13) - 60$.
Pembahasan
Kita diberikan dua persamaan lingkaran: Lingkaran 1: (x+5)^2 + (y+2)^2 = 144 Lingkaran 2: (x-7)^2 + (y-3)^2 = 25 Analisis kedua lingkaran: Dari Persamaan Lingkaran 1: Pusat (P1) = (-5, -2) Jari-jari (r1) = sqrt(144) = 12 Dari Persamaan Lingkaran 2: Pusat (P2) = (7, 3) Jari-jari (r2) = sqrt(25) = 5 a. Periksa apakah kedua lingkaran tersebut beririsan saling tegak lurus? Dua lingkaran beririsan tegak lurus jika kuadrat jarak antara kedua pusatnya sama dengan jumlah kuadrat jari-jarinya, atau dengan kata lain, jika berlaku teorema Pythagoras pada segitiga yang dibentuk oleh kedua pusat dan salah satu titik potongnya. Jarak antara kedua pusat (P1P2) dapat dihitung menggunakan rumus jarak: P1P2 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) P1P2 = sqrt((7 - (-5))^2 + (3 - (-2))^2) P1P2 = sqrt((7 + 5)^2 + (3 + 2)^2) P1P2 = sqrt(12^2 + 5^2) P1P2 = sqrt(144 + 25) P1P2 = sqrt(169) P1P2 = 13 Sekarang, kita cek kondisi tegak lurus: Apakah (P1P2)^2 = (r1)^2 + (r2)^2 ? 13^2 = 12^2 + 5^2 169 = 144 + 25 169 = 169 Karena persamaan tersebut benar, maka kedua lingkaran beririsan saling tegak lurus. b. Hitung luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut. Untuk menghitung luas daerah irisan dua lingkaran yang berpotongan tegak lurus, kita dapat menggunakan rumus luas juring dikurangi luas segitiga. Misalkan titik potongnya adalah T1 dan T2. Segitiga P1T1P2 dan P1T2P2 adalah segitiga siku-siku di T1 dan T2 karena lingkaran berpotongan tegak lurus. Luas irisan = Luas juring pada lingkaran 1 + Luas juring pada lingkaran 2 - Luas layang-layang P1T1P2T2 (atau dua kali luas segitiga P1T1P2). Karena P1T1 tegak lurus P2T1 (karena lingkaran berpotongan tegak lurus), segitiga P1T1P2 adalah segitiga siku-siku di T1. Luas segitiga P1T1P2 = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * r1 * r2 = 1/2 * 12 * 5 = 30. Luas layang-layang P1T1P2T2 = 2 * Luas segitiga P1T1P2 = 2 * 30 = 60. Untuk mencari luas juring, kita perlu sudut pusatnya. Karena lingkaran berpotongan tegak lurus, sudut di P1 yang dibentuk oleh jari-jari ke titik potong adalah alfa, dan sudut di P2 adalah beta, dimana alfa + beta = 90 derajat. Pada segitiga P1T1P2, cos(sudut di P1) = P1T1 / P1P2 = r1 / P1P2 = 12 / 13. Sudut di P1 (misal $ heta_1$) = arccos(12/13). Pada segitiga P1T1P2, cos(sudut di P2) = P2T1 / P1P2 = r2 / P1P2 = 5 / 13. Sudut di P2 (misal $ heta_2$) = arccos(5/13). Perlu diingat bahwa P1T1 tegak lurus P2T1. Jadi, sudut $ heta_1$ yang relevan untuk juring di lingkaran 1 adalah sudut yang dibentuk oleh P1T1 dan P1T2. Sudut ini adalah 2 * arccos(r1/d) = 2 * arccos(12/13) jika P1 adalah pusat dan d adalah jarak pusat. Namun, dalam kasus ini, kita memiliki segitiga siku-siku P1T1P2. Sudut pusat di P1 untuk juring yang relevan adalah $ heta_1$. Sudut $ heta_1$ dapat ditemukan dari segitiga siku-siku P1T1P2. Sudut $ heta_1$ adalah sudut di P1, sisi di depannya adalah r2, sisi di sampingnya adalah r1, dan hipotenusanya adalah d. $ an( heta_1) = r2/r1 = 5/12$. Maka $ heta_1 = ext{arctan}(5/12)$. Namun, ada cara yang lebih sederhana. Jika dua lingkaran berpotongan tegak lurus, maka luas daerah irisannya adalah jumlah luas dua segmen lingkaran. Luas irisan = Luas Sektor P1T1T2 - Luas Segitiga P1T1T2 + Luas Sektor P2T1T2 - Luas Segitiga P2T1T2. Karena lingkaran berpotongan tegak lurus, segitiga yang dibentuk oleh pusat dan titik potong adalah segitiga siku-siku. Sudut pusat pada lingkaran 1 ($ heta_1$) yang dibentuk oleh P1T1 dan P1T2 dapat dihitung. Dalam segitiga P1T1P2, sudut di P1, mari kita sebut $ heta_{P1}$, memenuhi $ an( heta_{P1}) = rac{r2}{r1} = rac{5}{12}$. Maka $ heta_{P1} = ext{arctan}(5/12)$. Sudut pusat untuk juring pada lingkaran 1 adalah $2 imes heta_{P1}$. Namun, ini tidak benar. Dalam kasus lingkaran yang berpotongan tegak lurus, daerah irisan adalah jumlah dari dua segmen lingkaran. Luas irisan = Luas segmen L1 + Luas segmen L2. Luas segmen = Luas sektor - Luas segitiga. Pada lingkaran 1, sudut pusat $ heta_1$ yang dibentuk oleh garis ke titik potong adalah $ heta_1 = ext{arccos}(r1/d) = ext{arccos}(12/13)$ untuk setengah sudutnya. Sudut penuh adalah $2 imes ext{arccos}(12/13)$. Luas Sektor 1 = $rac{1}{2} r1^2 heta_1 = rac{1}{2} (12)^2 imes (2 imes ext{arccos}(12/13)) = 144 imes ext{arccos}(12/13)$. Luas Segitiga 1 (segitiga yang dibentuk oleh P1 dan titik potong) = $rac{1}{2} r1^2 ext{sin}( heta_1) = rac{1}{2} (12)^2 ext{sin}(2 imes ext{arccos}(12/13))$. Menggunakan identitas $ ext{sin}(2 heta) = 2 ext{sin} heta ext{cos} heta$. Jika $ ext{cos}( heta) = 12/13$, maka $ ext{sin}( heta) = 5/13$. Jadi, $ ext{sin}(2 imes ext{arccos}(12/13)) = 2 imes (5/13) imes (12/13) = 120/169$. Luas Segitiga 1 = $rac{1}{2} imes 144 imes (120/169) = 72 imes 120/169 = 8640/169 rac{1}{2} imes ext{alas} imes ext{tinggi}$. Luas segitiga P1T1T2 = $rac{1}{2} imes r1 imes r1 = rac{1}{2} imes 12 imes 12 = 72$. Ini salah. Luas segitiga yang dibentuk oleh pusat P1 dan kedua titik potong T1, T2 memiliki alas P1P2 = 13. Tinggi dari T1 ke P1P2 adalah r2 = 5. Luas segitiga P1T1T2 = 1/2 * r1 * r2 = 1/2 * 12 * 5 = 30. Ini adalah luas segitiga siku-siku P1T1P2. Luas layang-layang P1T1P2T2 adalah 2 * 30 = 60. Sudut yang dibentuk pada pusat lingkaran pertama oleh titik potong adalah $ heta_1$. Dari segitiga P1T1P2, $ ext{cos}(rac{ heta_1}{2}) = rac{r1}{d} = rac{12}{13}$, maka $rac{ heta_1}{2} = ext{arccos}(12/13)$ dan $ heta_1 = 2 ext{arccos}(12/13)$. Luas Juring 1 = $rac{1}{2} r1^2 heta_1 = rac{1}{2} (12)^2 (2 ext{arccos}(12/13)) = 144 ext{arccos}(12/13)$. Sudut yang dibentuk pada pusat lingkaran kedua oleh titik potong adalah $ heta_2$. Dari segitiga P1T1P2, $ ext{cos}(rac{ heta_2}{2}) = rac{r2}{d} = rac{5}{13}$, maka $rac{ heta_2}{2} = ext{arccos}(5/13)$ dan $ heta_2 = 2 ext{arccos}(5/13)$. Luas Juring 2 = $rac{1}{2} r2^2 heta_2 = rac{1}{2} (5)^2 (2 ext{arccos}(5/13)) = 25 ext{arccos}(5/13)$. Luas irisan = Luas Juring 1 + Luas Juring 2 - Luas Segitiga P1T1T2 - Luas Segitiga P2T1T2. Ini juga tidak tepat. Luas irisan = Luas Segmen Lingkaran 1 + Luas Segmen Lingkaran 2. Luas Segmen Lingkaran 1 = Luas Juring P1T1T2 - Luas Segitiga P1T1T2. Luas Juring P1T1T2 = $144 ext{arccos}(12/13)$. Luas Segitiga P1T1T2 = $rac{1}{2} imes ext{alas} imes ext{tinggi}$. Dalam segitiga P1T1P2, alasnya r1=12, tingginya adalah jarak dari T1 ke garis P1P2, yang merupakan bagian dari P1P2. Luas segitiga P1T1T2 = 30 (Luas segitiga siku-siku P1T1P2). Luas Segmen Lingkaran 1 = $144 ext{arccos}(12/13) - 30$. Luas Segmen Lingkaran 2 = Luas Juring P2T1T2 - Luas Segitiga P2T1T2. Luas Juring P2T1T2 = $25 ext{arccos}(5/13)$. Luas Segitiga P2T1T2 = Luas segitiga P1T1P2 = 30. Luas Segmen Lingkaran 2 = $25 ext{arccos}(5/13) - 30$. Luas irisan = $(144 ext{arccos}(12/13) - 30) + (25 ext{arccos}(5/13) - 30)$ Luas irisan = $144 ext{arccos}(12/13) + 25 ext{arccos}(5/13) - 60$. Mari kita hitung nilai numeriknya: $ ext{arccos}(12/13) ext{ radian} ext{ } ext{sekitar} ext{ } 0.3948$ radian. $ ext{arccos}(5/13) ext{ radian} ext{ } ext{sekitar} ext{ } 1.1760$ radian. Luas irisan $ ext{sekitar} ext{ } 144 imes 0.3948 + 25 imes 1.1760 - 60$ Luas irisan $ ext{sekitar} ext{ } 56.85 + 29.40 - 60$ Luas irisan $ ext{sekitar} ext{ } 26.25$. Perhitungan yang lebih tepat adalah menggunakan rumus umum luas irisan dua lingkaran: Luas irisan = $r1^2 ext{arccos}rac{d^2+r1^2-r2^2}{2dr1} + r2^2 ext{arccos}rac{d^2+r2^2-r1^2}{2dr2} - rac{1}{2} ext{sqrt}((-d+r1+r2)(d+r1-r2)(d-r1+r2)(d+r1+r2))$. Dengan d=13, r1=12, r2=5: $rac{d^2+r1^2-r2^2}{2dr1} = rac{13^2+12^2-5^2}{2 imes 13 imes 12} = rac{169+144-25}{312} = rac{288}{312} = rac{12}{13}$. $rac{d^2+r2^2-r1^2}{2dr2} = rac{13^2+5^2-12^2}{2 imes 13 imes 5} = rac{169+25-144}{130} = rac{50}{130} = rac{5}{13}$. $ ext{sqrt}((-d+r1+r2)(d+r1-r2)(d-r1+r2)(d+r1+r2)) = ext{sqrt}((-13+12+5)(13+12-5)(13-12+5)(13+12+5)) = ext{sqrt}((4)(20)(6)(30)) = ext{sqrt}(14400) = 120$. Luas irisan = $12^2 ext{arccos}(12/13) + 5^2 ext{arccos}(5/13) - rac{1}{2} imes 120$ Luas irisan = $144 ext{arccos}(12/13) + 25 ext{arccos}(5/13) - 60$. Ini konsisten dengan perhitungan sebelumnya. Jawaban: a. Kedua lingkaran tersebut beririsan saling tegak lurus karena jarak antara kedua pusatnya (13) memenuhi $13^2 = 12^2 + 5^2$. b. Luas daerah irisan kedua lingkaran tersebut adalah $144 ext{arccos}(12/13) + 25 ext{arccos}(5/13) - 60$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Lingkaran
Section: Kedudukan Dua Lingkaran, Luas Irisan Lingkaran
Apakah jawaban ini membantu?