Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3/x<x-2 adalah

{x | -1 < x < 0 atau x > 3}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 3/x < x-2, kita perlu memindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan perbandingan dengan nol:
3/x - (x-2) < 0
3/x - (x²-2x)/x < 0
(3 - x² + 2x)/x < 0
(-x² + 2x + 3)/x < 0
Kalikan kedua sisi dengan -1 dan balikkan tanda pertidaksamaan:
(x² - 2x - 3)/x > 0
Faktorkan pembilang: (x-3)(x+1)/x > 0.
Kita perlu mencari nilai x yang membuat ekspresi ini positif. Akar-akar dari pembilang adalah x=3 dan x=-1, dan akar dari penyebut adalah x=0. Kita uji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai ini:
- Interval x < -1: Ambil x=-2. Maka (-2-3)(-2+1)/(-2) = (-5)(-1)/(-2) = 5/-2 = -2.5 (negatif).
- Interval -1 < x < 0: Ambil x=-0.5. Maka (-0.5-3)(-0.5+1)/(-0.5) = (-3.5)(0.5)/(-0.5) = -1.75/-0.5 = 3.5 (positif).
- Interval 0 < x < 3: Ambil x=1. Maka (1-3)(1+1)/1 = (-2)(2)/1 = -4 (negatif).
- Interval x > 3: Ambil x=4. Maka (4-3)(4+1)/4 = (1)(5)/4 = 5/4 = 1.25 (positif).
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah interval di mana ekspresi tersebut positif, yaitu -1 < x < 0 atau x > 3.