Diketahui f(x)=(4 x+3)(4-x^2) . Buktikan bahwa d

Terdapat kesalahan dalam soal. Hasil turunan yang benar adalah $-12x^2 - 6x + 16$, yang setara dengan $-2(6x^2 + 3x - 8)$.

Pembahasan

Diberikan fungsi $f(x) = (4x + 3)(4 - x^2)$. Kita perlu membuktikan bahwa turunan pertamanya, $df(x)/dx$, sama dengan $-2(6x^3x - 8)$.

Pertama, mari kita jabarkan fungsi $f(x)$:
$f(x) = (4x + 3)(4 - x^2)$
$f(x) = 4x(4) + 4x(-x^2) + 3(4) + 3(-x^2)$
$f(x) = 16x - 4x^3 + 12 - 3x^2$
$f(x) = -4x^3 - 3x^2 + 16x + 12$

Selanjutnya, kita cari turunan pertama dari $f(x)$ terhadap $x$, yaitu $df(x)/dx$. Kita akan menggunakan aturan turunan daya (power rule) yang menyatakan bahwa turunan dari $ax^n$ adalah $anx^{n-1}$.

Turunan dari $-4x^3$ adalah $(-4)(3)x^{3-1} = -12x^2$.
Turunan dari $-3x^2$ adalah $(-3)(2)x^{2-1} = -6x$.
Turunan dari $16x$ adalah $(16)(1)x^{1-1} = 16x^0 = 16$.
Turunan dari konstanta 12 adalah 0.

Jadi, $df(x)/dx = -12x^2 - 6x + 16$.

Sekarang, mari kita periksa ekspresi yang diberikan dalam soal: $-2(6x^3x - 8)$.
$-2(6x^3x - 8) = -2(6x^4 - 8)$
$= -12x^4 + 16$

Terjadi ketidaksesuaian antara hasil turunan yang kita dapatkan ($-12x^2 - 6x + 16$) dengan ekspresi yang diminta untuk dibuktikan ($-12x^4 + 16$).

Kemungkinan ada kesalahan pengetikan dalam soal yang diberikan. Jika kita mengasumsikan bahwa ekspresi yang diminta adalah $-2(6x^2 - 8)$, maka:
$-2(6x^2 - 8) = -12x^2 + 16$.
Ini masih belum sesuai dengan hasil turunan kita yang memiliki suku $-6x$.

Jika kita mengasumsikan bahwa ekspresi yang diminta adalah $-2(6x^2 + 3x - 8)$, maka:
$-2(6x^2 + 3x - 8) = -12x^2 - 6x + 16$.
Ini sesuai dengan hasil turunan yang kita hitung.

Dengan asumsi bahwa ekspresi yang seharusnya dibuktikan adalah $df(x)/dx = -2(6x^2 + 3x - 8)$, maka pembuktiannya adalah sebagai berikut:
$f(x) = (4x + 3)(4 - x^2) = 16x - 4x^3 + 12 - 3x^2 = -4x^3 - 3x^2 + 16x + 12$
$df(x)/dx = d/dx (-4x^3 - 3x^2 + 16x + 12)$
$df(x)/dx = -12x^2 - 6x + 16$

Kita dapat memfaktorkan $-2$ dari hasil turunan:
$df(x)/dx = -2(6x^2 + 3x - 8)$

Dengan demikian, terbukti bahwa $df(x)/dx = -2(6x^2 + 3x - 8)$.

Namun, jika soal asli harus diikuti persis seperti yang tertulis, yaitu membuktikan $df(x)/dx = -2(6x^3x - 8)$, maka pernyataan tersebut tidak benar berdasarkan perhitungan turunan dari fungsi yang diberikan.