Diketahui f(x)=cos 2x dan f'(p-pi/3)=akar(3) untuk

\u03c0/6

Pembahasan

Diketahui f(x) = cos(2x) dan f'(p - \u03c0/3) = \u221a(3) untuk 0 \u2264 p \u2264 \u03c0.

Langkah pertama adalah mencari turunan pertama dari f(x).
Jika f(x) = cos(2x), maka f'(x) = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x).

Selanjutnya, kita substitusikan (p - \u03c0/3) ke dalam f'(x):
f'(p - \u03c0/3) = -2sin(2(p - \u03c0/3))

Kita diberikan bahwa f'(p - \u03c0/3) = \u221a(3). Maka:
-2sin(2(p - \u03c0/3)) = \u221a(3)
sin(2(p - \u03c0/3)) = -\u221a(3)/2

Kita tahu bahwa nilai sinus yang menghasilkan -\u221a(3)/2 adalah pada kuadran III dan IV. Sudut referensinya adalah \u03c0/3 (karena sin(\u03c0/3) = \u221a(3)/2).

Sudut di kuadran III: \u03c0 + \u03c0/3 = 4\u03c0/3
Sudut di kuadran IV: 2\u03c0 - \u03c0/3 = 5\u03c0/3

Jadi, kita memiliki dua kemungkinan untuk argumen sinus:
1) 2(p - \u03c0/3) = 4\u03c0/3 + 2k\u03c0
2) 2(p - \u03c0/3) = 5\u03c0/3 + 2k\u03c0

Mari kita selesaikan untuk kasus pertama:
2p - 2\u03c0/3 = 4\u03c0/3
2p = 4\u03c0/3 + 2\u03c0/3
2p = 6\u03c0/3
2p = 2\u03c0
p = \u03c0

Ini memenuhi syarat 0 \u2264 p \u2264 \u03c0.

Mari kita selesaikan untuk kasus kedua:
2p - 2\u03c0/3 = 5\u03c0/3
2p = 5\u03c0/3 + 2\u03c0/3
2p = 7\u03c0/3
p = 7\u03c0/6

Nilai ini tidak memenuhi syarat 0 \u2264 p \u2264 \u03c0 karena 7/6 > 1.

Namun, kita perlu mempertimbangkan solusi umum dari sin(x) = -\u221a(3)/2. Nilai sudutnya bisa juga:
2(p - \u03c0/3) = -\u03c0/3 + 2k\u03c0  (ini ekuivalen dengan 5\u03c0/3 + 2(k-1)\u03c0)
2p - 2\u03c0/3 = -\u03c0/3
2p = -\u03c0/3 + 2\u03c0/3
2p = \u03c0/3
p = \u03c0/6

Nilai p = \u03c0/6 memenuhi syarat 0 \u2264 p \u2264 \u03c0.

Mari kita cek kembali solusi pertama yang menghasilkan p = \u03c0. Jika p = \u03c0, maka 2(p - \u03c0/3) = 2(\u03c0 - \u03c0/3) = 2(2\u03c0/3) = 4\u03c0/3. Sin(4\u03c0/3) = -\u221a(3)/2. Maka f'(p-\u03c0/3) = -2 * (-sin(4\u03c0/3)) = -2 * (-(-\u221a(3)/2)) = -2 * (\u221a(3)/2) = -\u221a(3). Ini salah.

Mari kita cek kembali p = \u03c0/6. Jika p = \u03c0/6, maka 2(p - \u03c0/3) = 2(\u03c0/6 - \u03c0/3) = 2(\u03c0/6 - 2\u03c0/6) = 2(-\u03c0/6) = -\u03c0/3. Sin(-\u03c0/3) = -\u221a(3)/2. Maka f'(p-\u03c0/3) = -2sin(-\u03c0/3) = -2 * (-\u221a(3)/2) = \u221a(3). Ini benar.

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah \u03c0/6.

Jawaban: \u03c0/6