Diketahui f(x) = (sin x + cos x)(cos 2x + sin 2x). Jika,

g(x) = sin 3x + cos x - 2 cos 3x

Pembahasan

Kita perlu menyederhanakan f(x) = (sin x + cos x)(cos 2x + sin 2x) dan membandingkannya dengan f(x) = 2 cos 3x + g(x).

Kita tahu bahwa:
sin x + cos x = √2 sin(x + π/4)
cos 2x + sin 2x = √2 cos(2x - π/4)

Maka, f(x) = (√2 sin(x + π/4))(√2 cos(2x - π/4))
= 2 sin(x + π/4) cos(2x - π/4)

Menggunakan rumus perkalian sinus dan kosinus:
2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B)

Di sini, A = x + π/4 dan B = 2x - π/4.

A + B = (x + π/4) + (2x - π/4) = 3x
A - B = (x + π/4) - (2x - π/4) = -x + π/2

Jadi, f(x) = sin(3x) + sin(-x + π/2)
Karena sin(-θ) = -sin(θ) dan sin(π/2 - θ) = cos(θ),
sin(-x + π/2) = sin(π/2 - x) = cos(x)

Maka, f(x) = sin(3x) + cos(x).

Sekarang kita bandingkan dengan f(x) = 2 cos 3x + g(x).
Kita perlu ekspresi f(x) dalam bentuk cos 3x. Ini menunjukkan bahwa mungkin ada kesalahan dalam soal atau perlu identitas trigonometri tambahan.

Mari kita coba pendekatan lain menggunakan identitas:
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x
sin 2x = 2 sin x cos x

f(x) = (sin x + cos x)(cos^2 x - sin^2 x + 2 sin x cos x)

Ini menjadi rumit.

Kembali ke bentuk awal f(x) = (sin x + cos x)(cos 2x + sin 2x).

Perhatikan bahwa jika kita gunakan identitas:
cos 2x + sin 2x = √2 ( (1/√2) cos 2x + (1/√2) sin 2x )
= √2 ( sin(π/4) cos 2x + cos(π/4) sin 2x )
= √2 sin(2x + π/4)

dan
sin x + cos x = √2 ( (1/√2) sin x + (1/√2) cos x )
= √2 ( cos(π/4) sin x + sin(π/4) cos x )
= √2 sin(x + π/4)

Maka f(x) = (√2 sin(x + π/4)) (√2 sin(2x + π/4))
= 2 sin(x + π/4) sin(2x + π/4)

Menggunakan rumus 2 sin A sin B = cos(A - B) - cos(A + B)
A = x + π/4, B = 2x + π/4

A - B = (x + π/4) - (2x + π/4) = -x
A + B = (x + π/4) + (2x + π/4) = 3x + π/2

f(x) = cos(-x) - cos(3x + π/2)
= cos x - (-sin(3x))
= cos x + sin 3x

Jadi, f(x) = sin 3x + cos x.

Sekarang, kita punya f(x) = 2 cos 3x + g(x).
Kita peroleh f(x) = sin 3x + cos x.

Dengan membandingkan kedua bentuk f(x):
sin 3x + cos x = 2 cos 3x + g(x)

maka g(x) = sin 3x + cos x - 2 cos 3x.

Jika ada kemungkinan kesalahan ketik pada soal dan seharusnya f(x) = (sin x + cos x)(cos 2x - sin 2x), mari kita cek:
cos 2x - sin 2x = √2 cos(2x + π/4)

f(x) = (√2 sin(x + π/4)) (√2 cos(2x + π/4))
= 2 sin(x + π/4) cos(2x + π/4)
= sin((x + π/4) + (2x + π/4)) + sin((x + π/4) - (2x + π/4))
= sin(3x + π/2) + sin(-x)
= cos(3x) - sin(x)

Jika f(x) = cos 3x - sin x, dan f(x) = 2 cos 3x + g(x),
maka g(x) = cos 3x - sin x - 2 cos 3x = -cos 3x - sin x.

Kembali ke soal asli:
f(x) = (sin x + cos x)(cos 2x + sin 2x) = sin 3x + cos x.
Jika f(x) = 2 cos 3x + g(x).
Maka g(x) = sin 3x + cos x - 2 cos 3x.

Sepertinya ada ketidaksesuaian dalam soal atau perlu identitas trigonometri yang lebih spesifik.

Namun, jika kita mengasumsikan ada typo pada soal dan seharusnya f(x) = 2 sin 3x + g(x), maka:
sin 3x + cos x = 2 sin 3x + g(x)
g(x) = cos x - sin 3x.

Jika kita mengasumsikan ada typo pada soal dan seharusnya f(x) = cos 3x + g(x), maka:
sin 3x + cos x = cos 3x + g(x)
g(x) = sin 3x.

Asumsi yang paling mungkin adalah ada kesalahan penulisan pada soal asli, namun berdasarkan hasil turunan f(x) = sin 3x + cos x, jika kita harus mencocokkannya dengan bentuk 2 cos 3x + g(x), maka:
g(x) = f(x) - 2 cos 3x = sin 3x + cos x - 2 cos 3x.