Diketahui f(x)=x^(1/3) sin x. Persamaan garis singgung di f

Persamaan garis singgungnya adalah y = 0.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung pada kurva f(x) = x^(1/3) sin x yang melalui titik asal (0,0), kita perlu mencari turunan pertama dari f(x) untuk mendapatkan gradien garis singgung. Gunakan aturan perkalian: (uv)' = u'v + uv'. Misalkan u = x^(1/3) dan v = sin x. Maka u' = (1/3)x^(-2/3) dan v' = cos x. Jadi, f'(x) = (1/3)x^(-2/3) sin x + x^(1/3) cos x. Persamaan garis singgung di titik (x0, y0) adalah y - y0 = f'(x0)(x - x0). Karena garis singgung melalui titik asal (0,0), maka y0 = 0 dan x0 = 0. Kita perlu mencari nilai f'(0). Namun, f'(x) memiliki suku x^(-2/3) yang menjadi tak terhingga saat x mendekati 0. Ini menunjukkan bahwa garis singgung di titik asal mungkin vertikal atau tidak terdefinisi dengan baik menggunakan metode turunan biasa. Mari kita periksa nilai fungsi di titik asal: f(0) = 0^(1/3) sin 0 = 0 * 0 = 0. Jadi, kurva memang melalui titik asal. Untuk garis singgung yang melalui titik asal, kita bisa memikirkan fungsi sebagai pendekatan linear di dekat titik asal. Namun, karena adanya x^(-2/3), perilaku di dekat 0 sangat curam. Jika kita perhatikan suku x^(1/3) cos x, saat x mendekati 0, suku ini mendekati 0. Suku (1/3)x^(-2/3) sin x berperilaku seperti (1/3)x^(-2/3) * x = (1/3)x^(1/3) saat x mendekati 0, yang juga mendekati 0. Ini menunjukkan gradiennya mendekati 0. Jika gradiennya 0, maka persamaannya y = 0. Namun, ini tidak akurat karena perilaku x^(-2/3). Alternatif lain adalah mencari garis singgung yang bukan vertikal. Jika kita mengambil limit dari f'(x) saat x mendekati 0 dari sisi positif: lim (x->0+) [(1/3)x^(-2/3) sin x + x^(1/3) cos x]. Kita tahu lim (x->0) sin x / x = 1, jadi sin x ≈ x untuk x kecil. Maka, (1/3)x^(-2/3) * x = (1/3)x^(1/3) yang mendekati 0 saat x mendekati 0. Suku x^(1/3) cos x juga mendekati 0. Jadi, gradiennya adalah 0. Persamaan garis singgungnya adalah y - 0 = 0(x - 0), yaitu y = 0. Mari kita periksa kembali. Persamaan garis singgung di titik asal (0,0) adalah y = mx. Jika m = f'(0). f'(x) = (sin x)/(3x^(2/3)) + x^(1/3) cos x. Saat x -> 0, sin x ≈ x. Jadi f'(x) ≈ x/(3x^(2/3)) + 0 = (1/3)x^(1/3). Sehingga f'(0) = 0. Persamaan garis singgungnya adalah y = 0.