Diketahui f(x)=x^3+ax^2+bx-6 dan g(x)=x^2+x-6. Jika g(x)

7

Pembahasan

Diketahui \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6\) dan \(g(x) = x^2 + x - 6\). Jika \(g(x)\) adalah faktor dari \(f(x)\), maka akar-akar dari \(g(x)\) juga merupakan akar-akar dari \(f(x)\).

Pertama, cari akar-akar dari \(g(x)\) dengan memfaktorkan \(x^2 + x - 6 = 0\):
\((x+3)(x-2) = 0\)
Akar-akarnya adalah \(x = -3\) dan \(x = 2\).

Karena \(x = -3\) adalah akar dari \(f(x)\), maka \(f(-3) = 0\):
\((-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) - 6 = 0\)
\(-27 + 9a - 3b - 6 = 0\)
\(9a - 3b = 33\)
Bagi kedua sisi dengan 3:
\(3a - b = 11\) ... (Persamaan 1)

Karena \(x = 2\) adalah akar dari \(f(x)\), maka \(f(2) = 0\):
\((2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 6 = 0\)
\(8 + 4a + 2b - 6 = 0\)
\(4a + 2b = -2\)
Bagi kedua sisi dengan 2:
\(2a + b = -1\) ... (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1. \(3a - b = 11\)
2. \(2a + b = -1\)

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2 untuk mengeliminasi \(b\):
\((3a - b) + (2a + b) = 11 + (-1)\)
\(5a = 10\)
\(a = 2\)

Substitusikan nilai \(a = 2\) ke dalam Persamaan 2:
\(2(2) + b = -1\)
\(4 + b = -1\)
\(b = -5\)

Ditanya nilai \(a - b\):
\(a - b = 2 - (-5) = 2 + 5 = 7\).

Jadi, nilai \(a-b\) adalah 7.