Diketahui fungsi f(x)=3 x+2 dan f^(-1) adalah invers fungsi

Nilai a+b = 2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai a dan b, kita perlu menentukan invers dari fungsi f(x) terlebih dahulu.
Jika f(x) = 3x + 2, maka untuk mencari inversnya, kita misalkan y = f(x):
y = 3x + 2
Pindahkan 2 ke sisi kiri:
y - 2 = 3x
Bagi kedua sisi dengan 3:
x = (y - 2) / 3
Jadi, invers dari f(x) adalah f^(-1)(y) = (y - 2) / 3. Dengan mengganti y dengan x, kita dapatkan f^(-1)(x) = (x - 2) / 3.

Sekarang, kita dapat mencari nilai a dan b:
Untuk f^(-1)(4) = a:
a = (4 - 2) / 3
a = 2 / 3

Untuk f^(-1)(6) = b:
b = (6 - 2) / 3
b = 4 / 3

Selanjutnya, kita perlu menghitung nilai dari "(a) log (1)/(3) ~b". Tanda "~" di sini kemungkinan mengindikasikan operasi perkalian atau ada kesalahan pengetikan. Namun, berdasarkan opsi jawaban yang diberikan (berupa angka tunggal), kita akan mengasumsikan bahwa yang dimaksud adalah "a * log(1/3) / b" atau operasi lain yang menghasilkan angka. Jika kita mengasumsikan "~" berarti pembagian:

Kita hitung "a log (1/3) / b":
(2/3) * log(1/3) / (4/3)

Jika kita mengasumsikan "~" adalah operasi yang tidak standar atau ada kesalahan pengetikan, mari kita coba substitusi nilai a dan b ke dalam ekspresi yang mungkin dimaksud agar sesuai dengan pilihan jawaban. Namun, tanpa kejelasan operasi yang tepat, sulit untuk memberikan jawaban pasti.

Mari kita asumsikan ada kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah "a + b" atau "a * b" atau operasi lain. Namun, jika kita lihat format soal dan pilihan jawaban, seringkali ada operasi logaritma yang terlibat.

Jika kita menginterpretasikan "(a) log (1)/(3) ~b" sebagai "a * log(1/3) + b" atau "a * log(1/3) - b" atau "a / b", maka kita perlu basis logaritma. Jika basisnya tidak disebutkan, biasanya adalah 10.

Mari kita coba interpretasi lain yang mungkin: "(a) ^log(1/3) ^b". Ini juga tidak jelas.

Mari kita coba interpretasi yang paling mungkin adalah operasi yang melibatkan a dan b dan logaritma 1/3.
Jika kita coba beberapa operasi:
1. a + b = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2. (Ini adalah salah satu pilihan jawaban)
2. a * b = (2/3) * (4/3) = 8/9.
3. a / b = (2/3) / (4/3) = 2/4 = 1/2.
4. b / a = (4/3) / (2/3) = 4/2 = 2. (Ini juga salah satu pilihan jawaban)

Jika kita melihat "log (1)/(3)", ini bisa berarti logaritma dari 1/3. Misalkan basisnya adalah 3:
log_3(1/3) = -1.
Jika ekspresinya adalah "a * log_3(1/3) + b" = (2/3)*(-1) + 4/3 = -2/3 + 4/3 = 2/3. Bukan pilihan.
Jika ekspresinya adalah "a + b * log_3(1/3)" = 2/3 + (4/3)*(-1) = 2/3 - 4/3 = -2/3. Bukan pilihan.

Melihat pilihan jawaban yang ada adalah bilangan bulat atau pecahan sederhana, dan kita mendapatkan hasil 2 dari a+b dan b/a, mari kita periksa apakah ada interpretasi lain dari soal yang membuat hasil menjadi 2 atau 4/3.

Jika kita mengasumsikan soalnya adalah: f(a) = 4 dan f(b) = 6, maka:
3a + 2 = 4 => 3a = 2 => a = 2/3
3b + 2 = 6 => 3b = 4 => b = 4/3
Ini konsisten dengan perhitungan invers.

Sekarang, jika kita mencoba menafsirkan "(a) log (1)/(3) ~b" sebagai sebuah ekspresi yang jika nilainya dihitung akan menghasilkan salah satu opsi.
Jika kita anggap "~" adalah tanda pembagian, dan basis logaritma adalah 10 (log umum):
(2/3) * log(1/3) / (4/3) = (2/3) * (-0.477) / (4/3) = -0.318 / 1.333 = -0.238. Bukan pilihan.

Mari kita periksa kembali soalnya, mungkin ada kesalahan ketik pada ekspresi yang diminta.
Jika yang dimaksud adalah: "Tentukan nilai dari b/a"
Maka b/a = (4/3) / (2/3) = 4/2 = 2. Ini adalah salah satu pilihan jawaban.

Jika yang dimaksud adalah: "Tentukan nilai dari a+b"
Maka a+b = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2. Ini juga salah satu pilihan jawaban.

Mengingat pilihan jawaban yang tersedia, dan kemungkinan adanya kesalahan pengetikan pada soal, interpretasi "b/a" atau "a+b" yang menghasilkan nilai 2 adalah yang paling masuk akal.

Namun, jika kita harus mengikuti format soal yang diberikan persis, dan mengasumsikan "~" sebagai perkalian (mengingat seringnya ada kesalahan ketik seperti ini), maka kita perlu basis logaritma.
Misalkan basis logaritma adalah 10:
(2/3) * log(1/3) * (4/3) = (2/3) * (-0.477) * (4/3) = -0.318 * (4/3) = -0.424. Bukan pilihan.

Misalkan basis logaritma adalah a = 2/3:
(2/3) * log_(2/3)(1/3) * (4/3). Ini menjadi sangat kompleks.

Mari kita fokus pada kemungkinan bahwa hasil akhirnya adalah salah satu dari pilihan.
Kita punya a = 2/3 dan b = 4/3.
Jika jawaban adalah 2 (pilihan d):
Apakah mungkin "(a) log (1)/(3) ~b" = 2?
Jika kita abaikan logaritma dan hanya melihat a dan b:
b/a = (4/3)/(2/3) = 2.

Jika kita mengasumsikan format soal adalah: f(x) = 3x+2, f^-1(4)=a, f^-1(6)=b. Tentukan nilai dari b/a.
Maka: a = 2/3, b = 4/3. b/a = 2.

Atau jika yang dimaksud adalah: f(x)=3x+2, f(a)=4, f(b)=6. Tentukan nilai a+b.
Maka: 3a+2=4 -> a=2/3. 3b+2=6 -> b=4/3. a+b = 2/3 + 4/3 = 2.

Karena soal dituliskan sebagai "f^(-1)(4)=a dan f^(-1)(6)=b", maka kita sudah benar mendapatkan a=2/3 dan b=4/3.
Ekspresi yang diminta adalah "(a) log (1)/(3) ~b".
Jika "~" adalah operasi yang seharusnya, dan basis logaritma adalah 10:
(2/3) * log(1/3) * (4/3) = -0.424

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan pengetikan yang signifikan dan yang diminta adalah nilai b/a, maka jawabannya adalah 2.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika hasil akhirnya adalah 4/3 (pilihan b):
Apakah mungkin "(a) log (1)/(3) ~b" = 4/3?
Ini sama dengan b.

Jika hasil akhirnya adalah 3 (pilihan c):
Tidak ada operasi sederhana yang menghasilkan 3.

Jika hasil akhirnya adalah 1 (pilihan e):
Tidak ada operasi sederhana yang menghasilkan 1.

Mengingat pilihan jawaban dan keumuman soal matematika, kemungkinan besar ada kesalahan pengetikan pada bagian "(a) log (1)/(3) ~b". Jika kita menganggap yang diminta adalah nilai dari "b/a" atau "a+b", maka jawabannya adalah 2.

Namun, jika kita harus menjawab berdasarkan soal yang tertulis, dan mengasumsikan basis logaritma adalah 10 dan "~" adalah perkalian:
Nilai a = 2/3
Nilai b = 4/3
Ekspresi: (2/3) * log(1/3) * (4/3)
log(1/3) = log(3^-1) = -log(3)
Dengan log(3) ≈ 0.4771
Jadi, log(1/3) ≈ -0.4771
Ekspresi ≈ (2/3) * (-0.4771) * (4/3)
Ekspresi ≈ 0.6667 * (-0.4771) * 1.3333
Ekspresi ≈ -0.3181 * 1.3333
Ekspresi ≈ -0.4241

Ini tidak sesuai dengan pilihan manapun. Oleh karena itu, kita harus menyimpulkan ada kesalahan pengetikan pada soal.

Jika kita mengasumsikan soal yang dimaksud adalah:
Diketahui fungsi f(x)=3x+2. Jika f(a)=4 dan f(b)=6, maka nilai a+b = ...
Maka:
3a+2 = 4 => 3a = 2 => a = 2/3
3b+2 = 6 => 3b = 4 => b = 4/3
a+b = 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2.

Jawaban ini sesuai dengan pilihan (d).

Mari kita tuliskan jawaban dengan asumsi ini.