Lingkaran yang sepusat dengan Lingkaran x^2+y^2-4x+6y-2=0

Lingkaran dengan pusat (2, -3)

Pembahasan

Dua lingkaran dikatakan sepusat jika mereka memiliki pusat yang sama. Persamaan umum lingkaran adalah (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, di mana (a,b) adalah koordinat pusat lingkaran.

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2+y^2-4x+6y-2=0.
Untuk menemukan pusat lingkaran ini, kita perlu mengubah persamaan ke bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat.

Kelompokkan suku-suku x dan y:
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 2

Lengkapi kuadrat untuk suku x:
(x^2 - 4x + (-4/2)^2) = (x^2 - 4x + 4) = (x - 2)^2
Tambahkan 4 ke kedua sisi persamaan.

Lengkapi kuadrat untuk suku y:
(y^2 + 6y + (6/2)^2) = (y^2 + 6y + 9) = (y + 3)^2
Tambahkan 9 ke kedua sisi persamaan.

Jadi, persamaan menjadi:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 2 + 4 + 9
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 15

Dari bentuk standar ini, kita dapat melihat bahwa pusat lingkaran adalah (a,b) = (2, -3).

Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran ini harus memiliki pusat yang sama, yaitu (2, -3). Persamaan umum dari lingkaran yang sepusat adalah:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = r^2, di mana r adalah jari-jari yang berbeda dari lingkaran asli.

Jika kita menulis ulang persamaan ini dalam bentuk umum:
x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = r^2
x^2 + y^2 - 4x + 6y + (13 - r^2) = 0

Perhatikan bahwa persamaan asli adalah x^2+y^2-4x+6y-2=0. Ini berarti konstanta -2 harus sama dengan (13 - r^2) untuk lingkaran yang sepusat.
Namun, pertanyaan hanya meminta "Lingkaran yang sepusat dengan Lingkaran x^2+y^2-4x+6y-2=0 adalah ...". Ini berarti kita hanya perlu menyatakan bentuk umum dari lingkaran yang memiliki pusat yang sama.

Lingkaran yang sepusat memiliki pusat yang sama. Pusat dari lingkaran x^2+y^2-4x+6y-2=0 adalah (2, -3).
Oleh karena itu, persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran tersebut adalah lingkaran yang juga berpusat di (2, -3). Persamaan umumnya adalah:
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = k, di mana k adalah konstanta positif (menentukan jari-jari kuadrat) yang nilainya bisa berbeda dari 15.