Tentukan nilai dari 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + 49^3 -

-64375

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari deret 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + 49^3 - 50^3, kita dapat mengelompokkan suku-suku berdekatan:
(1^3 - 2^3) + (3^3 - 4^3) + ... + (49^3 - 50^3)

Menggunakan identitas a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2):
Untuk suku pertama (1^3 - 2^3):
a=1, b=2
(1 - 2)(1^2 + 1*2 + 2^2) = (-1)(1 + 2 + 4) = (-1)(7) = -7

Untuk suku kedua (3^3 - 4^3):
a=3, b=4
(3 - 4)(3^2 + 3*4 + 4^2) = (-1)(9 + 12 + 16) = (-1)(37) = -37

Untuk suku terakhir (49^3 - 50^3):
a=49, b=50
(49 - 50)(49^2 + 49*50 + 50^2) = (-1)(2401 + 2450 + 2500) = (-1)(7351) = -7351

Deret tersebut menjadi: -7 - 37 - ... - 7351
Ini adalah deret aritmetika dengan suku pertama a = -7, beda (d) = -30, dan jumlah suku n = 25 (karena ada 50 suku yang dikelompokkan menjadi 25 pasang).

Rumus jumlah deret aritmetika: Sn = n/2 * (a + Un) atau Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)

Menggunakan rumus kedua:
S25 = 25/2 * (2*(-7) + (25-1)*(-30))
S25 = 25/2 * (-14 + 24*(-30))
S25 = 25/2 * (-14 - 720)
S25 = 25/2 * (-734)
S25 = 25 * (-367)
S25 = -9175

Cara alternatif:
Perhatikan pola:
1^3 - 2^3 = -7
3^3 - 4^3 = -37
5^3 - 6^3 = -91

Deretnya adalah -7, -37, -91, ...
Ini adalah deret aritmetika tingkat dua.
Selisih tingkat pertama: -30, -54, ...
Selisih tingkat kedua: -24, ...

Cara lain:
1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + (2n-1)^3 - (2n)^3
= [1^3+3^3+...+(2n-1)^3] - [2^3+4^3+...+(2n)^3]

Namun, cara pengelompokan adalah yang paling efisien di sini.

Untuk n=25:
(1^3 - 2^3) = -7
(3^3 - 4^3) = -37
...
(49^3 - 50^3) = -7351

Deret ini dapat ditulis sebagai:
Sum_{k=1}^{25} [(2k-1)^3 - (2k)^3]
= Sum_{k=1}^{25} [(2k-1 - 2k)((2k-1)^2 + (2k-1)(2k) + (2k)^2)]
= Sum_{k=1}^{25} [-1 * (4k^2 - 4k + 1 + 4k^2 - 2k + 4k^2)]
= Sum_{k=1}^{25} [-1 * (12k^2 - 6k + 1)]
= - Sum_{k=1}^{25} (12k^2 - 6k + 1)
= - [12 * Sum_{k=1}^{25} k^2 - 6 * Sum_{k=1}^{25} k + Sum_{k=1}^{25} 1]

Menggunakan rumus:
Sum_{k=1}^{n} k = n(n+1)/2
Sum_{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Untuk n=25:
Sum_{k=1}^{25} k = 25(26)/2 = 25 * 13 = 325
Sum_{k=1}^{25} k^2 = 25(26)(51)/6 = 25 * 13 * 17 = 5525
Sum_{k=1}^{25} 1 = 25

Jadi, nilainya adalah:
- [12 * 5525 - 6 * 325 + 25]
= - [66300 - 1950 + 25]
= - [64350 + 25]
= -64375

Mari kita cek kembali perhitungan deret aritmatika.
Suku pertama: -7
Suku terakhir: -7351
Jumlah suku: 25
Sn = n/2 * (a + Un)
S25 = 25/2 * (-7 + (-7351))
S25 = 25/2 * (-7358)
S25 = 25 * (-3679)
S25 = -91975

Ada kesalahan dalam perhitungan deret aritmatika sebelumnya.
Mari kita hitung beda deret aritmatika dari -7, -37, -91.
-37 - (-7) = -30
-91 - (-37) = -54
Ini bukan deret aritmetika biasa.

Mari kita kembali ke rumus:
- [12 * Sum_{k=1}^{25} k^2 - 6 * Sum_{k=1}^{25} k + Sum_{k=1}^{25} 1]
= - [12 * 5525 - 6 * 325 + 25]
= - [66300 - 1950 + 25]
= - [64350 + 25]
= -64375

Ini adalah jawaban yang benar berdasarkan rumus penjumlahan deret.

Nilai dari 1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + ... + 49^3 - 50^3 adalah -64375.