Diketahui fungsi f(x)=3log3x dan g(x)=3log(x+2). a.

a. (1, 3), b. x > 1/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menganalisis fungsi logaritma yang diberikan.

Diketahui fungsi:
f(x) = 3 log(3x)
g(x) = 3 log(x+2)

a. Tentukan koordinat titik potong grafik f(x) dan g(x).
Titik potong terjadi ketika f(x) = g(x).
3 log(3x) = 3 log(x+2)
Karena basis logaritmanya sama (3), maka argumennya harus sama:
3x = x + 2
3x - x = 2
2x = 2
x = 1

Sekarang cari nilai y (atau f(x) atau g(x)) saat x=1:
f(1) = 3 log(3 * 1) = 3 log(3) = 3 * 1 = 3
(Atau g(1) = 3 log(1+2) = 3 log(3) = 3 * 1 = 3)
Jadi, koordinat titik potongnya adalah (1, 3).

b. Tentukan interval pada saat grafik f(x) dan g(x) berada di atas sumbu X.
Grafik berada di atas sumbu X ketika nilai fungsinya positif (f(x) > 0 dan g(x) > 0).

Untuk f(x) = 3 log(3x) > 0:
log(3x) > 0
Karena basis logaritma > 1, maka:
3x > 10^0
3x > 1
x > 1/3

Untuk g(x) = 3 log(x+2) > 0:
log(x+2) > 0
x+2 > 10^0
x+2 > 1
x > -1

Selain itu, domain fungsi logaritma harus diperhatikan: argumen logaritma harus positif.
Untuk f(x): 3x > 0 => x > 0
Untuk g(x): x+2 > 0 => x > -2

Menggabungkan semua kondisi:
Untuk f(x) di atas sumbu X: x > 1/3.
Untuk g(x) di atas sumbu X: x > -1.

Interval di mana kedua grafik berada di atas sumbu X adalah irisan dari kedua interval tersebut, yaitu x > 1/3.

c. Gambarlah sketsa grafik f(x) dan g(x).
Sketsa grafik fungsi logaritma y = a log(bx+c) biasanya berbentuk monoton naik (jika a>0 dan b>0) atau monoton turun (jika a<0 atau b<0). Fungsi ini memiliki asimtot vertikal.

Untuk f(x) = 3 log(3x):
Asimtot vertikal: 3x = 0 => x = 0.
Melewati titik (1/3, 0) dan (1, 3).

Untuk g(x) = 3 log(x+2):
Asimtot vertikal: x+2 = 0 => x = -2.
Melewati titik (-1, 0) dan (1, 3).

Grafik f(x) dimulai dari asimtot x=0 dan naik, melewati (1/3, 0) dan bertemu g(x) di (1,3).
Grafik g(x) dimulai dari asimtot x=-2 dan naik, melewati (-1,0) dan bertemu f(x) di (1,3).

Kedua grafik berada di atas sumbu X untuk x > 1/3.