Diketahui fungsi f(x)=akar(x^3+x^2) dengan daerah asal

Terbukti bahwa $2 f'(x) \cdot f(x) = 3x^2 + 2x$.

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa $2 f'(x) \cdot f(x) = 3x^2 + 2x$, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi $f(x) = \sqrt{x^3 + x^2}$ terlebih dahulu.

Kita bisa menulis ulang $f(x)$ sebagai $(x^3 + x^2)^{1/2}$.
Menggunakan aturan rantai untuk turunan: $f'(x) = \frac{d}{dx}(u^{1/2}) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \frac{du}{dx}$, di mana $u = x^3 + x^2$.

Maka, $\frac{du}{dx} = 3x^2 + 2x$.

Jadi, $f'(x) = \frac{1}{2}(x^3 + x^2)^{-1/2} (3x^2 + 2x) = \frac{3x^2 + 2x}{2\sqrt{x^3 + x^2}}$.

Sekarang, kita kalikan $2 f'(x)$ dengan $f(x)$:
$2 f'(x) \cdot f(x) = 2 \cdot \left(\frac{3x^2 + 2x}{2\sqrt{x^3 + x^2}}\right) \cdot \sqrt{x^3 + x^2}$

Kita bisa membatalkan $2$ di pembilang dan penyebut, serta $\sqrt{x^3 + x^2}$:
$2 f'(x) \cdot f(x) = 3x^2 + 2x$

Dengan demikian, terbukti bahwa $2 f'(x) \cdot f(x) = 3x^2 + 2x$.