Diketahui invers fungsi g adalah g^-1(x) = x/x-1; x =/= 1.

f(x) = (3x + 1) / (2x + 5)

Pembahasan

Untuk mencari rumus invers fungsi f, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. **Cari invers dari fungsi komposisi (g o f)^-1(x):**
Kita diberikan (gof)^(-1)(x) = (-4x-1)/(-x+3).
Untuk mencari (g o f)(x), kita perlu mencari invers dari (gof)^(-1)(x). Misalkan y = (-4x-1)/(-x+3).
Tukar x dan y: x = (-4y-1)/(-y+3)
Kalikan kedua sisi dengan (-y+3): x(-y+3) = -4y-1
-xy + 3x = -4y - 1
Pindahkan semua suku yang mengandung y ke satu sisi dan suku lainnya ke sisi lain:
3x + 1 = xy - 4y
3x + 1 = y(x - 4)
y = (3x + 1) / (x - 4)
Jadi, (g o f)(x) = (3x + 1) / (x - 4).

2. **Gunakan definisi invers fungsi komposisi:**
Kita tahu bahwa (g o f)(x) = g(f(x)).
Kita juga diberikan invers dari fungsi g, yaitu g^-1(x) = x/(x-1).
Untuk mencari f(x), kita bisa gunakan hubungan:
f(x) = g^-1((g o f)(x))

3. **Substitusikan (g o f)(x) ke dalam g^-1(x):**
f(x) = g^-1((3x + 1) / (x - 4))
Ganti setiap 'x' dalam g^-1(x) dengan (3x + 1) / (x - 4):
f(x) = [(3x + 1) / (x - 4)] / [((3x + 1) / (x - 4)) - 1]

4. **Sederhanakan ekspresi untuk f(x):**
Untuk menyederhanakan penyebut, samakan penyebutnya:
((3x + 1) / (x - 4)) - 1 = (3x + 1 - (x - 4)) / (x - 4)
= (3x + 1 - x + 4) / (x - 4)
= (2x + 5) / (x - 4)

Sekarang substitusikan kembali ke dalam f(x):
f(x) = [(3x + 1) / (x - 4)] / [(2x + 5) / (x - 4)]
Kalikan dengan kebalikan dari penyebut:
f(x) = (3x + 1) / (x - 4) * (x - 4) / (2x + 5)
Cancel out (x - 4):
f(x) = (3x + 1) / (2x + 5)

Jadi, rumus invers fungsi f adalah f(x) = (3x + 1) / (2x + 5).