Diketahui koordinat A(2,-4,3) dan B(12,-9,17) . Jika titik

Perhitungan menunjukkan hasil yang tidak sesuai dengan pilihan jawaban yang diberikan, kemungkinan ada kesalahan pada soal atau pilihan jawaban.

Pembahasan

Diketahui koordinat A(2,-4,3) dan B(12,-9,17). Titik P berada di dalam AB sehingga AP : AB = 1 : 5. Ini berarti P membagi AB dengan perbandingan AP : PB = 1 : (5-1) = 1 : 4.
Rumus vektor posisi titik P yang membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n adalah:
P = (n*A + m*B) / (m+n)
Dalam kasus ini, m = 1 dan n = 4.
Vektor posisi A (vektor OA) = [2, -4, 3]
Vektor posisi B (vektor OB) = [12, -9, 17]

Maka, vektor posisi P (vektor OP) adalah:
OP = (4 * [2, -4, 3] + 1 * [12, -9, 17]) / (1 + 4)
OP = ([8, -16, 12] + [12, -9, 17]) / 5
OP = [8+12, -16-9, 12+17] / 5
OP = [20, -25, 29] / 5
OP = [20/5, -25/5, 29/5]
OP = [4, -5, 29/5]

Besar vektor posisi P (panjang vektor OP) dihitung menggunakan rumus √(x² + y² + z²).
|OP| = √((4)² + (-5)² + (29/5)²)
|OP| = √(16 + 25 + 841/25)
|OP| = √(41 + 841/25)
Untuk menjumlahkan, samakan penyebutnya:
|OP| = √((41*25)/25 + 841/25)
|OP| = √((1025 + 841)/25)
|OP| = √(1866/25)
|OP| = (√1866) / 5

Mari kita cek kembali soalnya, mungkin ada kesalahan dalam penafsiran atau soalnya. Jika AP : AB = 1:5 berarti AP = 1/5 AB. Maka PB = AB - AP = AB - 1/5 AB = 4/5 AB. Sehingga perbandingan AP : PB = (1/5 AB) : (4/5 AB) = 1 : 4. Perhitungan di atas sudah benar berdasarkan interpretasi ini.

Namun, jika soal dimaksudkan bahwa P membagi AB dengan perbandingan AP:PB = 1:5, maka:
OP = (5*A + 1*B) / (1+5)
OP = (5*[2, -4, 3] + 1*[12, -9, 17]) / 6
OP = ([10, -20, 15] + [12, -9, 17]) / 6
OP = [22, -29, 32] / 6
OP = [11/3, -29/6, 16/3]

|OP| = √((11/3)² + (-29/6)² + (16/3)²)
|OP| = √(121/9 + 841/36 + 256/9)
Samakan penyebut menjadi 36:
|OP| = √((121*4)/36 + 841/36 + (256*4)/36)
|OP| = √((484 + 841 + 1024)/36)
|OP| = √(2349/36)
|OP| = (√2349) / 6
√2349 = √(9 * 261) = 3√261 = 3√(9 * 29) = 9√29
|OP| = 9√29 / 6 = (3/2)√29

Kembali ke pilihan jawaban yang diberikan (dalam bentuk akar 42). Mari kita cek apakah ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban.
Misalkan kita hitung vektor AB:
AB = B - A = (12-2, -9-(-4), 17-3) = (10, -5, 14)
Panjang vektor AB = |AB| = √(10² + (-5)² + 14²) = √(100 + 25 + 196) = √321.
Jika AP : AB = 1 : 5, maka |AP| = 1/5 |AB| = 1/5 √321.
Vektor AP = 1/5 AB = 1/5 (10, -5, 14) = (2, -1, 14/5).
Vektor posisi P = Vektor posisi A + Vektor AP
OP = OA + AP = (2, -4, 3) + (2, -1, 14/5) = (4, -5, 3 + 14/5) = (4, -5, 15/5 + 14/5) = (4, -5, 29/5).
Hasil ini sama dengan perhitungan pertama.
Besar vektor posisi P = |OP| = √(4² + (-5)² + (29/5)²) = √(16 + 25 + 841/25) = √(41 + 841/25) = √((1025+841)/25) = √(1866/25) = √1866 / 5.

Jika kita perhatikan pilihan jawaban, semuanya dalam bentuk k√42. Mari kita coba cek jika panjang vektor AB atau komponennya berhubungan dengan √42.
√42 ≈ 6.48.

Mari kita analisis ulang soalnya: "Jika titik P di dalam AB sehingga AP: AB = 1: 5". Ini berarti vektor AP = 1/5 vektor AB.
Vektor AB = B - A = (12-2, -9-(-4), 17-3) = (10, -5, 14).
Vektor AP = 1/5 * (10, -5, 14) = (2, -1, 14/5).
Vektor posisi P = Vektor posisi A + Vektor AP
OP = OA + AP = (2, -4, 3) + (2, -1, 14/5) = (4, -5, 3 + 14/5) = (4, -5, 15/5 + 14/5) = (4, -5, 29/5).
Besar vektor posisi P = |OP| = sqrt(4^2 + (-5)^2 + (29/5)^2)
= sqrt(16 + 25 + 841/25) = sqrt(41 + 841/25) = sqrt(1025/25 + 841/25) = sqrt(1866/25) = sqrt(1866)/5.

Jika kita misalkan ada kesalahan penulisan pada soal dan perbandingannya adalah AP:PB = 1:4 (yang sesuai dengan AP:AB = 1:5), maka:
OP = (4*A + 1*B) / (1+4)
OP = (4*(2, -4, 3) + 1*(12, -9, 17)) / 5
OP = ((8, -16, 12) + (12, -9, 17)) / 5
OP = (20, -25, 29) / 5
OP = (4, -5, 29/5).
Besar vektor posisi P = |OP| = sqrt(4^2 + (-5)^2 + (29/5)^2) = sqrt(16 + 25 + 841/25) = sqrt(41 + 841/25) = sqrt(1866/25) = sqrt(1866)/5.
Ini tetap sama.

Mari kita coba cek jika soalnya adalah AP:AB = 1:3, maka AP:PB = 1:2.
OP = (2*A + 1*B) / (1+2)
OP = (2*(2, -4, 3) + 1*(12, -9, 17)) / 3
OP = ((4, -8, 6) + (12, -9, 17)) / 3
OP = (16, -17, 23) / 3
OP = (16/3, -17/3, 23/3)
|OP| = sqrt((16/3)^2 + (-17/3)^2 + (23/3)^2)
= sqrt(256/9 + 289/9 + 529/9) = sqrt(1074/9) = sqrt(119.33)

Mari kita coba asumsi lain, mungkin perbandingan vektornya berbeda. Misalkan P adalah titik tengah AB, maka AP:PB = 1:1.
OP = (A+B)/2 = ((2+12)/2, (-4-9)/2, (3+17)/2) = (7, -13/2, 10).
|OP| = sqrt(7^2 + (-13/2)^2 + 10^2) = sqrt(49 + 169/4 + 100) = sqrt(149 + 169/4) = sqrt((596+169)/4) = sqrt(765/4) = sqrt(765)/2.

Mari kita coba analisis pilihan jawaban: a. 4√42, b. 3√42, c. 2√42, d. √42, e. 1/2√42.
Kuadrat dari pilihan jawaban:
a². 16 * 42 = 672
b². 9 * 42 = 378
c². 4 * 42 = 168
d². 42
e². 1/4 * 42 = 10.5

Nilai |OP|² yang kita dapatkan adalah 1866/25 = 74.64.
Ini tidak cocok dengan kuadrat pilihan jawaban.

Mari kita cek jika ada kesalahan dalam menghitung vektor AB atau panjangnya.
AB = (10, -5, 14).
|AB|² = 100 + 25 + 196 = 321.

Jika kita lihat bentuk soalnya, ada kemungkinan perhitungannya sangat sederhana jika jawaban akhirnya adalah k√42.
Mari kita periksa kembali apakah ada informasi yang terlewat atau salah interpretasi.