Diketahui koordinat A(-4, 2, 3), B(7 , 8, 1), dan C(1, 0,

Proyeksi vektor u pada v adalah $(\frac{35}{9}, -\frac{14}{9}, \frac{28}{9})$.

Pembahasan

Diketahui koordinat titik A(-4, 2, 3), B(7, 8, 1), dan C(1, 0, 7).
Vektor AB, yang mewakili vektor u, dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik B: 
$u = B - A = (7 - (-4), 8 - 2, 1 - 3) = (11, 6, -2)$

Vektor AC, yang mewakili vektor v, dihitung dengan mengurangkan koordinat titik A dari koordinat titik C: 
$v = C - A = (1 - (-4), 0 - 2, 7 - 3) = (5, -2, 4)$

Proyeksi vektor u pada vektor v dirumuskan sebagai:
$proj_v u = \frac{u \cdot v}{\|v\|^2} v$

Pertama, hitung hasil kali titik (dot product) u · v:
$u \cdot v = (11)(5) + (6)(-2) + (-2)(4) = 55 - 12 - 8 = 35$

Kedua, hitung kuadrat dari panjang vektor v ($\|v\|^2$):
$\|v\|^2 = 5^2 + (-2)^2 + 4^2 = 25 + 4 + 16 = 45$

Terakhir, substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus proyeksi:
$proj_v u = \frac{35}{45} v = \frac{7}{9} v$
$proj_v u = \frac{7}{9} (5, -2, 4) = (\frac{35}{9}, -\frac{14}{9}, \frac{28}{9})$

Jadi, proyeksi vektor u pada vektor v adalah $(\frac{35}{9}, -\frac{14}{9}, \frac{28}{9})$.