Diketahui koordinat titik-titik sudut segitiga PQR adalah

Segitiga PQR siku-siku di Q karena PQ tegak lurus QR (hasil kali titik = 0) dan memenuhi teorema Pythagoras (PR^2 = PQ^2 + QR^2).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa segitiga PQR adalah segitiga siku-siku, kita dapat menggunakan konsep vektor dan teorema Pythagoras. Pertama, kita cari vektor-vektor yang mewakili sisi-sisi segitiga tersebut.

Koordinat titik-titik sudut:
P(5, 7, -5), Q(4, 7, -3), R(2, 7, -4)

Vektor PQ = Q - P = (4-5, 7-7, -3-(-5)) = (-1, 0, 2)
Vektor QR = R - Q = (2-4, 7-7, -4-(-3)) = (-2, 0, -1)
Vektor PR = R - P = (2-5, 7-7, -4-(-5)) = (-3, 0, 1)

Selanjutnya, kita akan memeriksa apakah dua vektor sisi tegak lurus satu sama lain dengan menghitung hasil kali titik (dot product) mereka. Jika hasil kali titik dua vektor adalah nol, maka kedua vektor tersebut tegak lurus.

1. Hasil kali titik PQ dan QR:
PQ · QR = (-1)(-2) + (0)(0) + (2)(-1) = 2 + 0 - 2 = 0
Karena hasil kali titik PQ dan QR adalah 0, maka vektor PQ tegak lurus terhadap vektor QR. Ini berarti sudut di Q adalah sudut siku-siku.

2. Kita juga bisa memeriksa sisi lainnya untuk konfirmasi, meskipun satu sudut siku-siku sudah cukup untuk membuktikan segitiga siku-siku.
Hasil kali titik PQ dan PR:
PQ · PR = (-1)(-3) + (0)(0) + (2)(1) = 3 + 0 + 2 = 5 (tidak tegak lurus)

Hasil kali titik QR dan PR:
QR · PR = (-2)(-3) + (0)(0) + (-1)(1) = 6 + 0 - 1 = 5 (tidak tegak lurus)

Metode lain adalah menggunakan teorema Pythagoras pada panjang sisi-sisi segitiga. Panjang vektor dihitung dengan rumus |v| = sqrt(vx^2 + vy^2 + vz^2).

Panjang PQ = |PQ| = sqrt((-1)^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(1 + 0 + 4) = sqrt(5)
Panjang QR = |QR| = sqrt((-2)^2 + 0^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 0 + 1) = sqrt(5)
Panjang PR = |PR| = sqrt((-3)^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(9 + 0 + 1) = sqrt(10)

Periksa apakah kuadrat panjang sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat panjang dua sisi lainnya:
(sqrt(10))^2 = (sqrt(5))^2 + (sqrt(5))^2
10 = 5 + 5
10 = 10

Karena PR^2 = PQ^2 + QR^2, maka segitiga PQR adalah segitiga siku-siku di titik Q, sesuai dengan teorema Pythagoras.

Kesimpulan: Dengan hasil kali titik vektor PQ dan QR yang bernilai nol, serta pemenuhan teorema Pythagoras, terbukti bahwa segitiga PQR adalah segitiga siku-siku.