Diketahui kubus A B C D . E F G H dengan panjang rusuk 4

6√35/5 cm

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep geometri ruang, khususnya pada kubus. Kita diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4√3 cm. Titik P adalah titik tengah BC, dan Q adalah titik tengah DH. R terletak pada AP sehingga QR tegak lurus dengan AP. Kita perlu mencari panjang QR.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Tentukan koordinat titik-titik sudut kubus. Misalkan A = (0, 0, 0), B = (4√3, 0, 0), C = (4√3, 4√3, 0), D = (0, 4√3, 0), E = (0, 0, 4√3), F = (4√3, 0, 4√3), G = (4√3, 4√3, 4√3), H = (0, 4√3, 4√3).
2. Tentukan koordinat titik P dan Q. P adalah titik tengah BC, maka P = ((4√3 + 4√3)/2, (0 + 4√3)/2, (0 + 0)/2) = (4√3, 2√3, 0). Q adalah titik tengah DH, maka Q = ((0 + 0)/2, (4√3 + 4√3)/2, (0 + 4√3)/2) = (0, 4√3, 2√3).
3. Tentukan vektor AP dan vektor QR. Vektor AP = P - A = (4√3, 2√3, 0). Vektor AQ = Q - A = (0, 4√3, 2√3).
4. Misalkan R membagi AP dengan perbandingan m:n. Maka R = (n*A + m*P) / (m+n) = (m*4√3 / (m+n), m*2√3 / (m+n), 0).
5. Vektor QR = R - Q = (m*4√3 / (m+n), m*2√3 / (m+n) - 4√3, -2√3).
6. Karena QR tegak lurus AP, maka hasil kali titik vektor QR dan AP adalah 0. QR . AP = 0.
   (m*4√3 / (m+n)) * (4√3) + (m*2√3 / (m+n) - 4√3) * (2√3) + (-2√3) * 0 = 0
   (48m / (m+n)) + (12m / (m+n)) - 24 = 0
   60m / (m+n) = 24
   60m = 24(m+n)
   60m = 24m + 24n
   36m = 24n
   m/n = 24/36 = 2/3.
   Jadi, R membagi AP dengan perbandingan 2:3.
7. Hitung koordinat R. R = (3*A + 2*P) / (2+3) = (2 * (4√3, 2√3, 0)) / 5 = (8√3/5, 4√3/5, 0).
8. Hitung panjang QR. QR = √[(0 - 8√3/5)² + (4√3 - 4√3/5)² + (2√3 - 0)²]
   QR = √[(-8√3/5)² + (16√3/5)² + (2√3)²]
   QR = √[192/25 + 768/25 + 12]
   QR = √[960/25 + 300/25]
   QR = √[1260/25]
   QR = √(252 * 5 / 25) = √(36 * 7 * 5 / 25) = (6/5)√35.
   Alternatif lain: Gunakan konsep proyeksi. Panjang proyeksi AQ pada AP adalah |AQ . AP| / |AP|.
   AP = (4√3, 2√3, 0), |AP| = √((4√3)² + (2√3)²) = √(48 + 12) = √60 = 2√15.
   AQ = (0, 4√3, 2√3).
   AQ . AP = (0 * 4√3) + (4√3 * 2√3) + (2√3 * 0) = 24.
   Panjang proyeksi AQ pada AP = |24| / (2√15) = 12/√15 = 12√15 / 15 = 4√15 / 5.
   Misalkan titik proyeksi Q' pada AP. Maka RQ' = 4√15 / 5.
   Perhatikan segitiga siku-siku AQR (salah, ini bukan segitiga siku-siku):
   Perhatikan segitiga siku-siku di Q' (proyeksi Q pada AP). Segitiga AQQ' siku-siku di Q'.
   AQ² = AQ'² + QQ'².
   QQ'² = AQ² - AQ'² = (0² + (4√3)² + (2√3)²) - (4√15/5)² = (48 + 12) - (240/25) = 60 - 48/5 = (300-48)/5 = 252/5.
   QR² = QQ'² = 252/5.
   QR = √(252/5) = √(36 * 7 / 5) = 6√7 / √5 = 6√35 / 5.
   Perhitungan sebelumnya salah. Mari kita hitung ulang langkah 8.
   QR = √[(-8√3/5)² + (16√3/5)² + (2√3)²]
   QR = √[192/25 + 768/25 + 12]
   QR = √[960/25 + 300/25]
   QR = √[1260/25] = √(252/5) = 6√7/√5 = 6√35/5.
   Terdapat kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita periksa kembali perbandingan m:n. m/n = 2/3. Maka R membagi AP dalam perbandingan 2:3. R = (3A + 2P)/5. Ini benar.
   R = (3(0,0,0) + 2(4√3, 2√3, 0))/5 = (8√3/5, 4√3/5, 0).
   Q = (0, 4√3, 2√3).
   QR = √[(8√3/5 - 0)² + (4√3/5 - 4√3)² + (0 - 2√3)²]
   QR = √[(8√3/5)² + (-16√3/5)² + (-2√3)²]
   QR = √[192/25 + 768/25 + 12]
   QR = √[960/25 + 300/25]
   QR = √[1260/25] = √(252/5) = 6√35/5.

Jawaban ringkas: Panjang QR adalah 6√35/5 cm.