Diketahui kubus ABCD.EFGH dan beberapa pernyataan

Pernyataan yang benar adalah (iii).

Pembahasan

Untuk menentukan pernyataan yang benar mengenai kubus ABCD.EFGH, mari kita analisis setiap pernyataan:

Kubus ABCD.EFGH memiliki titik-titik sebagai berikut:
A=(0,0,0), B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0)
E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s) (di mana s adalah panjang rusuk kubus)

(i) AH dan DG berpotongan.
AH adalah diagonal ruang dari titik A ke H. Vektor AH = H - A = (0,s,s) - (0,0,0) = (0,s,s).
DG adalah diagonal ruang dari titik D ke G. Vektor DG = G - D = (s,s,s) - (0,s,0) = (s,0,s).
Kedua garis ini tidak berpotongan karena vektor arahnya tidak sejajar dan mereka tidak berbagi titik yang sama.
AH terletak pada bidang ADHE (x=0), sedangkan DG terletak pada bidang BCGF (x=s) dan ABCD (y=s) serta EFGH (y=s).
Jadi, pernyataan (i) salah.

(ii) AD adalah proyeksi DE pada bidang ABCD.
AD adalah rusuk kubus yang terletak pada bidang ABCD. DE adalah rusuk yang tegak lurus terhadap bidang ABCD di titik D.
Proyeksi DE pada bidang ABCD adalah rusuk AD, karena D adalah titik pada bidang ABCD dan AD tegak lurus terhadap DE (karena DE tegak lurus bidang ABCD).
Jadi, pernyataan (ii) benar.

(iii) DF tegak lurus bidang ACH.
Bidang ACH dibentuk oleh diagonal AC, AH, dan CH. Vektor AC = C - A = (s,s,0). Vektor AH = H - A = (0,s,s).
Vektor arah bidang ACH dapat dicari dengan perkalian silang AC x AH:
AC x AH = (s,s,0) x (0,s,s) = (s*s - 0*s, 0*0 - s*s, s*s - s*0) = (s², -s², s²).
Jadi, vektor normal bidang ACH adalah (1, -1, 1) atau (s², -s², s²).

Sekarang kita periksa vektor DF. Vektor DF = F - D = (s,0,s) - (0,s,0) = (s, -s, s).
Agar DF tegak lurus bidang ACH, vektor DF harus sejajar dengan vektor normal bidang ACH.
Vektor normal bidang ACH adalah (s², -s², s²), yang sejajar dengan (1, -1, 1).
Vektor DF adalah (s, -s, s), yang sejajar dengan (1, -1, 1).
Karena vektor DF (s, -s, s) adalah kelipatan dari vektor normal bidang ACH (s², -s², s²), maka DF tegak lurus bidang ACH.
Jadi, pernyataan (iii) benar.

(iv) AG dan DF bersilangan.
AG adalah diagonal ruang dari A ke G. Vektor AG = G - A = (s,s,s).
DF adalah diagonal bidang dari D ke F. Vektor DF = F - D = (s, -s, s).
Vektor AG = (s,s,s)
Vektor DF = (s,-s,s)

Untuk menentukan apakah dua garis bersilangan, kita perlu memeriksa apakah mereka sejajar (vektor arahnya kelipatan) dan apakah mereka berpotongan (tidak).

1. Apakah sejajar?
Apakah (s,s,s) = k * (s,-s,s) untuk suatu skalar k?
Dari komponen x: s = ks => k = 1
Dari komponen y: s = k(-s) => s = -s => tidak mungkin kecuali s=0.
Jadi, AG dan DF tidak sejajar.

2. Apakah berpotongan?
Untuk berpotongan, harus ada titik P pada AG dan titik Q pada DF sedemikian rupa sehingga P=Q.
Titik pada AG: P = A + t * AG = (0,0,0) + t(s,s,s) = (ts, ts, ts).
Titik pada DF: Q = D + u * DF = (0,s,0) + u(s,-s,s) = (us, s-us, us).

Agar P=Q:
ts = us => t = u (jika s ≠ 0)
ts = s - us => ts = s - ts => 2ts = s => t = 1/2 (jika s ≠ 0)
ts = us => t = u

Jika t = u, maka:
ts = s - ts => 2ts = s => t = 1/2.
Ini berarti mereka berpotongan di titik P = (1/2 * s, 1/2 * s, 1/2 * s) dan Q = (1/2 * s, s - 1/2 * s, 1/2 * s) = (1/2 * s, 1/2 * s, 1/2 * s).
Titik potong ini adalah pusat kubus.
Jadi, AG dan DF berpotongan.

Pernyataan (iv) mengatakan AG dan DF bersilangan. Karena mereka berpotongan, maka pernyataan ini salah.

Kesimpulan:
Pernyataan yang benar adalah (ii) dan (iii).

Jawaban yang benar adalah E. (iii) dan (iv) - ini salah berdasarkan analisis saya.
Mari kita tinjau kembali.

(i) AH dan DG berpotongan.
AH: (0,t,t)
DG: (u,s,u)
0=u, t=s, t=u. Jika u=0 dan t=s, maka titiknya adalah (0,s,0) untuk AH dan (0,s,0) untuk DG. Jadi, mereka berpotongan di D.
Ah, AH adalah diagonal ruang, bukan rusuk.
AH = A + t(H-A) = (0,0,0) + t(0,s,s) = (0, ts, ts)
DG = D + u(G-D) = (0,s,0) + u(s,0,s) = (us, s, us)

Agar berpotongan:
0 = us => u=0 (jika s≠0)
ts = s => t=1
ts = us => ts = us => t=u
Jika u=0 dan t=1, maka titiknya adalah (0, s, s) untuk AH dan (0, s, 0) untuk DG. Tidak sama.
Jadi, AH dan DG tidak berpotongan.
Pernyataan (i) SALAH.

(ii) AD adalah proyeksi DE pada bidang ABCD.
AD = (0,s,0). DE = (0,0,s) - (0,s,0) = (0,-s,0). Oh, saya salah mendefinisikan titik. Jika A=(0,0,0), B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0), maka E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s).

AD = (0,s,0).
DE = E - D = (0,0,s) - (0,s,0) = (0, -s, s).
Proyeksi DE pada bidang ABCD (z=0). Vektor DE = (0,-s,s).
Proyeksi DE pada bidang ABCD adalah vektor yang dibentuk dengan menghilangkan komponen z, atau proyeksi ortogonal. Jika kita proyeksikan titik E(0,0,s) ke bidang ABCD (z=0), maka bayangannya adalah (0,0,0) = A. Titik D(0,s,0) sudah di bidang ABCD. Jadi, proyeksi DE pada bidang ABCD adalah DA, bukan AD.
ATAU, jika kita melihat vektor DE = (0,-s,s). Vektor normal bidang ABCD adalah (0,0,1). Proyeksi DE pada bidang ABCD adalah DE - proj_n(DE) = DE - ((DE . n) / |n|²) n.
DE . n = (0,-s,s) . (0,0,1) = s.
|n|² = 1.
proj_n(DE) = s * (0,0,1) = (0,0,s).
Proyeksi DE pada bidang ABCD = DE - (0,0,s) = (0,-s,s) - (0,0,s) = (0,-s,0).
Vektor (0,-s,0) adalah vektor DA.
AD adalah vektor dari A ke D, yaitu (0,s,0). Vektor DA adalah (0,-s,0).
Jadi, AD bukanlah proyeksi DE pada bidang ABCD. Proyeksi DE pada bidang ABCD adalah DA.
Pernyataan (ii) SALAH.

(iii) DF tegak lurus bidang ACH.
Bidang ACH dibentuk oleh vektor AC = (s,s,0) dan AH = (0,s,s).
Vektor normal bidang ACH = AC x AH = (s,s,0) x (0,s,s) = (s², -s², s²).
DF = F - D = (s,0,s) - (0,s,0) = (s, -s, s).
Periksa apakah DF sejajar dengan normal bidang ACH:
(s, -s, s) = k * (s², -s², s²)
Jika k = 1/s, maka (s, -s, s) = (s, -s, s).
Jadi, DF sejajar dengan normal bidang ACH, yang berarti DF tegak lurus bidang ACH.
Pernyataan (iii) BENAR.

(iv) AG dan DF bersilangan.
AG = G - A = (s,s,s).
DF = (s,-s,s).
Seperti analisis sebelumnya, AG dan DF berpotongan di pusat kubus. Jika mereka berpotongan, mereka tidak bersilangan.
Pernyataan (iv) SALAH.

Dengan demikian, hanya pernyataan (iii) yang benar. Ini tidak sesuai dengan pilihan jawaban yang diberikan.
Mari kita periksa ulang definisi proyeksi dan persilangan.

Proyeksi DE pada bidang ABCD.
Titik D ada di bidang ABCD. Titik E ada di atas bidang ABCD. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah titik A (karena EA tegak lurus bidang ABCD). Jadi, proyeksi ruas garis DE pada bidang ABCD adalah ruas garis DA.
AD adalah ruas garis dari A ke D. DA adalah ruas garis dari D ke A. Keduanya memiliki panjang yang sama tetapi arah berlawanan.
Jika yang dimaksud adalah panjang atau vektor yang terletak pada bidang, maka AD (vektor (0,s,0)) tidak sama dengan DA (vektor (0,-s,0)). Jika yang dimaksud adalah segmen garis, maka segmen garis AD sama dengan segmen garis DA dalam arti terletak pada garis yang sama dan memiliki panjang yang sama, tetapi arahnya berlawanan.
Dalam konteks geometri, proyeksi DE pada bidang ABCD adalah ruas garis DA.
Jadi AD (sebagai vektor atau ruas garis dengan arah tertentu) bukanlah proyeksi DE pada bidang ABCD.
Pernyataan (ii) tetap SALAH.

Mari kita lihat ulang opsi A, B, C, D, E:
A. (i) dan (ii) - Salah
B. (i) dan (iii) - Salah
C. (ii) dan (iii) - Salah karena (ii) salah.
D. (ii) dan (iv) - Salah
E. (iii) dan (iv) - Salah karena (iv) salah.

Ada kemungkinan ada kesalahan dalam pemahaman saya atau dalam soal/opsi jawaban.
Mari kita periksa lagi pernyataan (iv) AG dan DF bersilangan.
AG: A(0,0,0) ke G(s,s,s). Persamaan parametrik: (t,t,t) untuk 0 <= t <= 1.
DF: D(0,s,0) ke F(s,0,s). Persamaan parametrik: (0,s,0) + u(s,-s,s) = (us, s-us, us) untuk 0 <= u <= 1.

Untuk berpotongan:
t = us
t = s - us
t = us

Dari persamaan pertama dan ketiga, t = us. Substitusikan ke persamaan kedua:
us = s - us
2us = s
2u = 1 (jika s ≠ 0)
u = 1/2.
Karena t = us, maka t = (1/2)s. Ini berarti t = u = 1/2 jika s = 1.
Jika s ≠ 1, maka t = u * s. Jika t = 1/2, maka 1/2 = u * s. Maka u = 1/(2s).

Ini membuat kebingungan. Mari kita gunakan vektor arah dan posisi.
Vektor AG = (s,s,s)
Vektor DF = (s,-s,s)
Titik A = (0,0,0)
Titik D = (0,s,0)

Garis AG: r1(t) = (0,0,0) + t(s,s,s) = (ts, ts, ts)
Garis DF: r2(u) = (0,s,0) + u(s,-s,s) = (us, s-us, us)

Apakah mereka berpotongan? Cari t dan u sehingga r1(t) = r2(u).
ts = us => t = u (jika s≠0)
ts = s - us
ts = us

Substitusi t=u ke persamaan kedua:
ts = s - ts
2ts = s
t = s/(2s) = 1/2 (jika s≠0).
Jika t=1/2, maka u=1/2.
Titik potongnya adalah (s/2, s/2, s/2), yaitu pusat kubus.
Jadi, garis AG dan DF berpotongan di pusat kubus.
Pernyataan (iv) bahwa mereka bersilangan adalah SALAH.

Mari kita lihat kembali pernyataan (iii): DF tegak lurus bidang ACH.
Bidang ACH dibentuk oleh diagonal AC dan AH.
AC = C - A = (s,s,0)
AH = H - A = (0,s,s)
Normal bidang = AC x AH = (s², -s², s²)
Vektor DF = F - D = (s,-s,s)

DF sejajar dengan normal bidang jika DF = k * normal.
(s, -s, s) = k * (s², -s², s²)
Jika k = 1/s, maka (s, -s, s) = (s, -s, s).
Ini benar. Jadi, DF tegak lurus bidang ACH.
Pernyataan (iii) BENAR.

Karena hanya (iii) yang benar, dan tidak ada opsi yang hanya berisi (iii), mari kita periksa kembali soal dan opsi.

Kemungkinan Interpretasi:
- Soal meminta pernyataan yang BENAR.
- Jika ada kesalahan ketik pada opsi, kita perlu mengidentifikasi.

Mungkin ada kesalahan dalam saya mendefinisikan titik atau vektor.
Mari kita gunakan titik dengan nilai s=1 untuk visualisasi.
A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), D=(0,1,0)
E=(0,0,1), F=(1,0,1), G=(1,1,1), H=(0,1,1)

(i) AH dan DG.
AH: A(0,0,0) ke H(0,1,1). Vektor arah (0,1,1).
DG: D(0,1,0) ke G(1,1,1). Vektor arah (1,0,1).
Tidak sejajar. Berpotongan?
AH: (0, t, t)
DG: (u, 1, u)
0 = u
t = 1
t = u

Dari 0=u dan t=u, maka u=0 dan t=0. Titik AH: (0,0,0). Titik DG: (0,1,0). Tidak sama.
Jadi, (i) salah.

(ii) AD adalah proyeksi DE pada bidang ABCD.
AD = (0,1,0).
DE = E(0,0,1) - D(0,1,0) = (0,-1,1).
Bidang ABCD adalah bidang z=0.
Proyeksi DE pada bidang z=0:
DE = (0,-1,1). Komponen z adalah 1.
Proyeksi DE pada bidang z=0 adalah (0,-1,0).
Vektor ini adalah vektor DA.
AD = (0,1,0).
DA = (0,-1,0).
AD bukanlah proyeksi DE pada bidang ABCD. DA adalah proyeksi DE pada bidang ABCD.
Pernyataan (ii) salah.

(iii) DF tegak lurus bidang ACH.
DF = F(1,0,1) - D(0,1,0) = (1,-1,1).
Bidang ACH. A(0,0,0), C(1,1,0), H(0,1,1).
Vektor AC = (1,1,0).
Vektor AH = (0,1,1).
Normal bidang = AC x AH = (1*1 - 0*1, 0*0 - 1*1, 1*1 - 1*0) = (1, -1, 1).
DF = (1,-1,1).
Normal bidang = (1,-1,1).
Vektor DF sejajar dengan normal bidang. Jadi, DF tegak lurus bidang ACH.
Pernyataan (iii) benar.

(iv) AG dan DF bersilangan.
AG = G(1,1,1) - A(0,0,0) = (1,1,1).
DF = (1,-1,1).
Mereka tidak sejajar. Berpotongan?
AG: (t,t,t)
DF: (u, 1-u, u)

t = u
t = 1-u
t = u

Dari persamaan pertama dan ketiga, t=u. Substitusi ke persamaan kedua:
t = 1-t
2t = 1
t = 1/2.
Jika t=1/2, maka u=1/2.
Titik potongnya adalah (1/2, 1/2, 1/2). Ini adalah pusat kubus.
Jadi, AG dan DF berpotongan, bukan bersilangan.
Pernyataan (iv) salah.

Dengan konfirmasi ini, hanya pernyataan (iii) yang benar.
Karena tidak ada opsi yang hanya (iii), mari kita periksa apakah ada kemungkinan lain.

Mungkin ada kesalahan dalam pertanyaan aslinya atau pilihan jawabannya.
Namun, jika kita harus memilih jawaban yang paling mendekati atau jika ada interpretasi lain dari