Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika O

Jarak dari titik O ke AC adalah (9 * sqrt(2)) / 2 cm.

Pembahasan

Diberikan sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Titik O adalah titik tengah dari rusuk HG. Kita perlu menghitung jarak dari titik O ke garis AC.

Langkah 1: Posisikan kubus dalam sistem koordinat. Misalkan titik A berada di (0, 0, 0). Karena panjang rusuk adalah 6 cm, maka:
A = (0, 0, 0)
B = (6, 0, 0)
C = (6, 6, 0)
D = (0, 6, 0)
E = (0, 0, 6)
F = (6, 0, 6)
G = (6, 6, 6)
H = (0, 6, 6)

Langkah 2: Tentukan koordinat titik O. Titik O adalah titik tengah HG. Koordinat H adalah (0, 6, 6) dan koordinat G adalah (6, 6, 6). Maka koordinat O adalah:
O = ((0+6)/2, (6+6)/2, (6+6)/2) = (3, 6, 6)

Langkah 3: Tentukan koordinat titik A dan C. Koordinat A adalah (0, 0, 0) dan koordinat C adalah (6, 6, 0).

Langkah 4: Hitung jarak dari titik O ke garis AC. Jarak dari sebuah titik ke sebuah garis dalam ruang tiga dimensi dapat dihitung dengan beberapa metode. Salah satu cara adalah dengan menggunakan proyeksi atau dengan mencari titik pada garis AC yang terdekat dengan O.

Metode 1: Menggunakan rumus jarak titik ke garis di ruang 3D.
Misalkan P adalah titik pada garis AC. Vektor AC = C - A = (6, 6, 0) - (0, 0, 0) = (6, 6, 0).
Misalkan vektor AO = O - A = (3, 6, 6) - (0, 0, 0) = (3, 6, 6).
Jarak dari O ke garis AC diberikan oleh:
d = ||AO x AC|| / ||AC||

Hitung AO x AC:
AO x AC = 
| i  j  k |
| 3  6  6 |
| 6  6  0 |
= i(6*0 - 6*6) - j(3*0 - 6*6) + k(3*6 - 6*6)
= i(0 - 36) - j(0 - 36) + k(18 - 36)
= -36i + 36j - 18k = (-36, 36, -18)

Hitung ||AO x AC||:
||AO x AC|| = sqrt((-36)^2 + 36^2 + (-18)^2) = sqrt(1296 + 1296 + 324) = sqrt(2916) = 54

Hitung ||AC||:
||AC|| = sqrt(6^2 + 6^2 + 0^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6*sqrt(2)

Jarak d = 54 / (6*sqrt(2)) = 9 / sqrt(2) = (9 * sqrt(2)) / 2 cm.

Metode 2: Menggunakan geometri.
Perhatikan segitiga ACG. Diagonal AC = sqrt(6^2 + 6^2) = 6*sqrt(2).
Karena O adalah titik tengah HG, maka OH = OG = 3.
Kita perlu mencari jarak dari O ke garis AC. Perhatikan bidang ACGE. Garis AC berada pada bidang dasar ABCD. Titik O berada pada bidang atas EFGH.

Untuk menyederhanakan, mari kita gunakan bidang ACGE. Diagonal AG = sqrt(6^2 + 6^2 + 6^2) = 6*sqrt(3).

Perhatikan segitiga OAC. Kita dapat menghitung panjang OA dan OC.
OA = sqrt((3-0)^2 + (6-0)^2 + (6-0)^2) = sqrt(9 + 36 + 36) = sqrt(81) = 9.
OC = sqrt((6-3)^2 + (6-6)^2 + (0-6)^2) = sqrt(3^2 + 0^2 + (-6)^2) = sqrt(9 + 0 + 36) = sqrt(45) = 3*sqrt(5).

Ini tidak langsung memberikan jarak dari O ke garis AC. Kita perlu menggunakan konsep jarak titik ke garis.

Kembali ke Metode 1 yang lebih sistematis.

Jarak titik O(3, 6, 6) ke garis AC yang melalui A(0, 0, 0) dan C(6, 6, 0).
Parameterisasi garis AC: r(t) = A + t(C - A) = (0, 0, 0) + t(6, 6, 0) = (6t, 6t, 0).
Sebuah titik pada garis AC adalah P = (6t, 6t, 0).

Vektor OP = P - O = (6t - 3, 6t - 6, 0 - 6) = (6t - 3, 6t - 6, -6).

Jarak terpendek terjadi ketika OP tegak lurus terhadap vektor arah garis AC, yaitu vektor (6, 6, 0).
Jadi, produk dot OP · (6, 6, 0) = 0.
(6t - 3)*6 + (6t - 6)*6 + (-6)*0 = 0
36t - 18 + 36t - 36 = 0
72t - 54 = 0
72t = 54
t = 54 / 72 = 3 / 4

Substitusikan nilai t kembali ke vektor OP:
OP = (6*(3/4) - 3, 6*(3/4) - 6, -6)
OP = (18/4 - 3, 18/4 - 6, -6)
OP = (9/2 - 6/2, 9/2 - 12/2, -6)
OP = (3/2, -3/2, -6)

Sekarang hitung panjang vektor OP:
Jarak = ||OP|| = sqrt((3/2)^2 + (-3/2)^2 + (-6)^2)
Jarak = sqrt(9/4 + 9/4 + 36)
Jarak = sqrt(18/4 + 36)
Jarak = sqrt(9/2 + 72/2)
Jarak = sqrt(81/2)
Jarak = 9 / sqrt(2)
Jarak = (9 * sqrt(2)) / 2 cm.