Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. K

Jarak titik K ke ruas garis HC adalah 6√2 cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. K adalah titik tengah rusuk AB.

Untuk mencari jarak titik K ke ruas garis HC, kita dapat menggunakan konsep proyeksi titik pada garis dalam ruang.

1.  **Koordinat Titik:**
    Misalkan titik A berada di (0,0,0).
    Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (0, 0, 0)
B = (8, 0, 0)
C = (8, 8, 0)
D = (0, 8, 0)
E = (0, 0, 8)
F = (8, 0, 8)
G = (8, 8, 8)
H = (0, 8, 8)

Karena K adalah titik tengah rusuk AB, maka koordinat K adalah:
K = ((0+8)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (4, 0, 0)

2.  **Vektor HC:**
Vektor HC dapat dihitung dengan mengurangkan koordinat C dengan koordinat H:
HC = C - H = (8 - 0, 8 - 8, 0 - 8) = (8, 0, -8)

3.  **Vektor HK:**
Vektor HK dapat dihitung dengan mengurangkan koordinat K dengan koordinat H:
HK = K - H = (4 - 0, 0 - 8, 0 - 8) = (4, -8, -8)

4.  **Proyeksi Vektor HK pada Vektor HC:**
Jarak titik K ke garis HC adalah panjang dari vektor proyeksi HK pada HC, atau kita bisa mencari panjang vektor K'H, di mana K' adalah proyeksi K pada garis HC.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan rumus jarak titik ke garis:
Jarak = |HK × HC| / |HC|

Hitung perkalian silang HK × HC:
HK × HC = | i    j    k  |
             | 4   -8   -8 |
             | 8    0   -8 |

HK × HC = i((-8)(-8) - (-8)(0)) - j((4)(-8) - (-8)(8)) + k((4)(0) - (-8)(8))
HK × HC = i(64 - 0) - j(-32 + 64) + k(0 + 64)
HK × HC = 64i - 32j + 64k = (64, -32, 64)

Hitung panjang vektor HK × HC:
|HK × HC| = sqrt(64² + (-32)² + 64²)
|HK × HC| = sqrt(4096 + 1024 + 4096)
|HK × HC| = sqrt(9216)
|HK × HC| = 96

Hitung panjang vektor HC:
|HC| = sqrt(8² + 0² + (-8)²)
|HC| = sqrt(64 + 0 + 64)
|HC| = sqrt(128)
|HC| = 8 * sqrt(2)

Jarak = |HK × HC| / |HC| = 96 / (8 * sqrt(2))
Jarak = 12 / sqrt(2)
Jarak = (12 * sqrt(2)) / 2
Jarak = 6 * sqrt(2)

Jadi, jarak titik K ke ruas garis HC adalah 6√2 cm.