Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm. Titik P dan Q

Jarak antara garis PQ dan bidang ACF adalah $6\sqrt{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk menghitung jarak antara garis PQ dan bidang ACF pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 12 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi dan vektor, atau menggunakan sifat geometri ruang.

Langkah-langkah penyelesaian:

1.  **Pahami Konfigurasi Kubus dan Titik:**
    Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 12 cm. Titik P pada EH membagi EH menjadi dua sama panjang, sehingga EP = PH = 6 cm. Titik Q pada GH membagi GH menjadi dua sama panjang, sehingga GQ = QH = 6 cm.

2.  **Tentukan Vektor atau Koordinat:**
    Kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius. Misalkan A = (0,0,0), B = (12,0,0), D = (0,12,0), E = (0,0,12), G = (12,12,0), H = (0,12,12).

    *   Titik P pada EH. EH berada pada sumbu y dan z. E = (0,0,12), H = (0,12,12). P adalah titik tengah EH. P = (\(\frac{0+0}{2}\, \frac{0+12}{2}\, \frac{12+12}{2}\)) = (0, 6, 12).
    *   Titik Q pada GH. GH berada pada sumbu x dan y. G = (12,12,0), H = (0,12,12). Q adalah titik tengah GH. Q = (\(\frac{12+0}{2}\, \frac{12+12}{2}\, \frac{0+12}{2}\)) = (6, 12, 6).

    *   Vektor PQ = Q - P = (6-0, 12-6, 6-12) = (6, 6, -6).

3.  **Tentukan Bidang ACF:**
    *   Titik A = (0,0,0).
    *   Titik C = (12,12,0).
    *   Titik F = (12,0,12).

    Vektor AC = C - A = (12,12,0).
    Vektor AF = F - A = (12,0,12).

    Untuk mencari vektor normal bidang ACF, kita gunakan perkalian silang (cross product) dari AC dan AF:
    n = AC × AF = \(\begin{vmatrix} i & j & k \\ 12 & 12 & 0 \\ 12 & 0 & 12 \end{vmatrix}\)
    n = i(12×12 - 0×0) - j(12×12 - 0×12) + k(12×0 - 12×12)
    n = i(144) - j(144) + k(-144)
    n = (144, -144, -144)
    Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi n = (1, -1, -1) dengan membagi dengan 144.

    Persamaan bidang ACF yang melalui titik A(0,0,0) dengan normal n = (1, -1, -1) adalah:
    1(x - 0) - 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0
    x - y - z = 0

4.  **Hitung Jarak Garis PQ ke Bidang ACF:**
    Jarak antara garis PQ ke bidang ACF sama dengan jarak dari salah satu titik pada garis PQ (misalnya P) ke bidang ACF, karena garis PQ sejajar dengan bidang ACF (kita perlu membuktikan ini).

    *   **Cek kesejajaran:** Garis PQ sejajar dengan bidang ACF jika vektor PQ tegak lurus terhadap vektor normal bidang ACF. Ini dapat dicek dengan perkalian titik (dot product).
        PQ · n = (6, 6, -6) · (1, -1, -1) = 6(1) + 6(-1) + (-6)(-1) = 6 - 6 + 6 = 6.
        Karena hasil perkalian titik tidak nol (6 ≠ 0), maka PQ tidak tegak lurus terhadap n. Ini berarti PQ tidak sejajar dengan bidang ACF. Perhitungan di atas perlu ditinjau kembali.

    Mari kita periksa kembali vektor AC dan AF:
    AC = (12,12,0)
    AF = (12,0,12)

    Alternatif lain untuk mencari vektor normal bidang ACF:
    Vektor bidang ACF bisa juga dibentuk dari vektor AC dan CF.
    C = (12,12,0), F = (12,0,12)
    CF = F - C = (12-12, 0-12, 12-0) = (0, -12, 12)

    n = AC × CF = \(\begin{vmatrix} i & j & k \\ 12 & 12 & 0 \\ 0 & -12 & 12 \end{vmatrix}\)
    n = i(12×12 - 0×(-12)) - j(12×12 - 0×0) + k(12×(-12) - 12×0)
    n = i(144) - j(144) + k(-144)
    n = (144, -144, -144). Hasilnya sama, n = (1, -1, -1).

    Mari kita periksa kembali titik-titik kubus.
    A=(0,0,0), B=(12,0,0), C=(12,12,0), D=(0,12,0)
    E=(0,0,12), F=(12,0,12), G=(12,12,12), H=(0,12,12)

    Titik P pada EH. EH membentang dari (0,0,12) ke (0,12,12). P = (0, 6, 12).
    Titik Q pada GH. GH membentang dari (12,12,12) ke (0,12,12). Q = (6, 12, 12).
    Ini berbeda dari perhitungan sebelumnya untuk Q.
    Mari kita gunakan definisi titik pada rusuk.
    P membagi EH sama panjang: P = \(\frac{E+H}{2}\) = \(\frac{(0,0,12) + (0,12,12)}{2}\) = (0, 6, 12).
    Q membagi GH sama panjang: Q = \(\frac{G+H}{2}\) = \(\frac{(12,12,12) + (0,12,12)}{2}\) = (6, 12, 12).

    Vektor PQ = Q - P = (6-0, 12-6, 12-12) = (6, 6, 0).

    Periksa kesejajaran PQ dengan bidang ACF menggunakan dot product dengan normal n = (1, -1, -1).
    PQ · n = (6, 6, 0) · (1, -1, -1) = 6(1) + 6(-1) + 0(-1) = 6 - 6 + 0 = 0.
    Karena hasil perkalian titik adalah 0, vektor PQ tegak lurus terhadap vektor normal bidang ACF. Ini berarti garis PQ sejajar dengan bidang ACF.

5.  **Hitung Jarak Titik ke Bidang:**
    Sekarang kita hitung jarak dari titik P(0, 6, 12) ke bidang ACF (persamaan x - y - z = 0).
    Rumus jarak titik \((x_0, y_0, z_0)\) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 adalah:
    \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\,\)

    Di sini, \((x_0, y_0, z_0) = (0, 6, 12)\), A=1, B=-1, C=-1, D=0.
    \(d = \frac{|1(0) + (-1)(6) + (-1)(12) + 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}}\,\)
    \(d = \frac{|0 - 6 - 12|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}\,\)
    \(d = \frac{|-18|}{\sqrt{3}}\,\)
    \(d = \frac{18}{\sqrt{3}}\,\)
    Rasionalkan penyebut:
    \(d = \frac{18}{\sqrt{3}} 	imes \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}\,\)

    Jadi, jarak antara garis PQ dan bidang ACF adalah \(6\sqrt{3}\, cm.

    **Verifikasi dengan Metode Geometri Alternatif:**
    Kita perlu mencari jarak tegak lurus dari P ke bidang ACF. Bidang ACF adalah diagonal bidang kubus. Garis PQ menghubungkan titik tengah rusuk EH dan GH.
    Perhatikan segitiga siku-siku PQR' di mana R' adalah proyeksi P pada bidang ACF. Kita perlu mencari panjang PR'.

    PQ = \(\sqrt{6^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

    Pertimbangkan bidang BDHF. Bidang ACF dan BDHF berpotongan pada garis HF. Bidang PQGH juga berpotongan dengan bidang ACF.

    Jarak antara garis PQ dan bidang ACF dapat dicari sebagai jarak dari P ke bidang ACF. Titik P berada pada rusuk EH. Bidang ACF memotong kubus. Kita bisa memproyeksikan P ke bidang ACF.

    Misalkan kita gunakan teorema jarak titik ke bidang:
    Bidang ACF melalui titik (0,0,0). Normalnya adalah (1,-1,-1). Persamaan bidangnya x - y - z = 0.
    Titik P = (0, 6, 12).
    Jarak P ke bidang = \(\frac{|0 - 6 - 12|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|-18|}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\).

    Jawaban: Jarak antara garis PQ dan bidang ACF adalah \(6\sqrt{3}\, cm.

    **Double Check:**
    Bidang ACF memuat diagonal AC dari bidang ABCD dan diagonal AF dari bidang ABFE. Vektor normal bidang ACF adalah (1, -1, -1).
    Vektor PQ = (6, 6, 0). PQ sejajar bidang ACF.
    Titik P = (0, 6, 12).
    Jarak P ke bidang ACF (x - y - z = 0) adalah \(6\sqrt{3}\).

    Metode lain: Cari jarak antara garis PQ dan perpotongan bidang yang mengandung PQ dengan bidang ACF.
    Bidang yang melalui PQ dan tegak lurus ACF? Tidak mudah.

    Perhatikan bangun limas P.ACF. Kita mencari tinggi limas dari P ke alas ACF.
    Bidang PQ sejajar dengan bidang ACF. Ini berarti jarak dari setiap titik di PQ ke ACF adalah sama.

    Kembali ke koordinat:
    A=(0,0,0), C=(12,12,0), F=(12,0,12).
    P=(0,6,12), Q=(6,12,12).

    Jarak P ke bidang ACF: \(6\sqrt{3}\).
    Jarak Q ke bidang ACF: \(\frac{|1(6) - 1(12) - 1(12)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 12 - 12|}{\sqrt{3}} = \frac{|-18|}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}\).

    Hasilnya konsisten.