Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik N

(4√30)/5 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik H ke garis BN pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm dan titik N adalah tengah-tengah AE, kita dapat menggunakan pendekatan geometri analitik atau vektor.

Langkah-langkah:
1. Tetapkan sistem koordinat.
   Misalkan titik A = (0,0,0).
   Karena rusuknya 4 cm, maka:
   B = (4,0,0)
   C = (4,4,0)
   D = (0,4,0)
   E = (0,0,4)
   F = (4,0,4)
   G = (4,4,4)
   H = (0,4,4)

2. Tentukan koordinat titik N.
   N adalah tengah-tengah AE. Maka N = ((0+0)/2, (0+0)/2, (0+4)/2) = (0,0,2).

3. Tentukan vektor BN dan vektor BH.
   Vektor BN = N - B = (0-4, 0-0, 2-0) = (-4, 0, 2).
   Vektor BH = H - B = (0-4, 4-0, 4-0) = (-4, 4, 4).

4. Gunakan proyeksi vektor untuk mencari jarak.
   Jarak titik H ke garis BN dapat dihitung sebagai panjang komponen vektor BH yang tegak lurus terhadap vektor BN. Atau, kita bisa menggunakan rumus luas segitiga.

   Luas segitiga BNH dapat dihitung dengan dua cara:
   a) 1/2 * |BN| * (tinggi dari H ke BN)
   b) 1/2 * |(vektor BN) x (vektor BH)| (menggunakan hasil kali silang)

   Pertama, hitung panjang vektor BN:
   |BN| = sqrt((-4)^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(16 + 0 + 4) = sqrt(20) = 2*sqrt(5).

   Kedua, hitung hasil kali silang BN x BH:
   BN x BH = | i   j   k  |
             | -4  0   2  |
             | -4  4   4  |

   BN x BH = i(0*4 - 2*4) - j((-4)*4 - 2*(-4)) + k((-4)*4 - 0*(-4))
   BN x BH = i(0 - 8) - j(-16 - (-8)) + k(-16 - 0)
   BN x BH = -8i - j(-16 + 8) - 16k
   BN x BH = -8i + 8j - 16k

   Ketiga, hitung panjang dari hasil kali silang:
   |BN x BH| = sqrt((-8)^2 + 8^2 + (-16)^2) = sqrt(64 + 64 + 256) = sqrt(384).
   sqrt(384) = sqrt(64 * 6) = 8*sqrt(6).

   Sekarang, gunakan rumus luas segitiga:
   1/2 * |BN| * (jarak H ke BN) = 1/2 * |BN x BH|
   1/2 * (2*sqrt(5)) * (jarak H ke BN) = 1/2 * (8*sqrt(6))
   sqrt(5) * (jarak H ke BN) = 4*sqrt(6)
   Jarak H ke BN = (4*sqrt(6)) / sqrt(5)
   Jarak H ke BN = (4*sqrt(6)*sqrt(5)) / (sqrt(5)*sqrt(5))
   Jarak H ke BN = (4*sqrt(30)) / 5

Jawaban: Jarak titik H ke BN adalah (4*sqrt(30))/5 cm.