Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan rusuk 6 cm. Besar sudut

60 derajat

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk dengan panjang 6 cm.
Garis AC adalah diagonal bidang alas ABCD, dan garis BE adalah diagonal bidang ABFE.
Untuk mencari sudut antara dua garis, kita dapat menggunakan vektor.
Pilih titik A sebagai titik asal (0,0,0).
Koordinat titik C adalah (6,6,0) karena AC adalah diagonal bidang alas.
Koordinat titik B adalah (6,0,0) dan E adalah (0,0,6).
Untuk mencari vektor BE, kita kurangkan koordinat E dengan koordinat B:
VE = E - B = (0-6, 0-0, 6-0) = (-6, 0, 6).
Untuk mencari vektor AC, kita kurangkan koordinat C dengan koordinat A:
VA = C - A = (6-0, 6-0, 0-0) = (6, 6, 0).

Besar sudut θ antara dua vektor dapat dicari menggunakan rumus dot product:
cos θ = (VA · VE) / (|VA| * |VE|)

VA · VE = (6)(-6) + (6)(0) + (0)(6) = -36 + 0 + 0 = -36

|VA| = sqrt(6² + 6² + 0²) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6*sqrt(2)
|VE| = sqrt((-6)² + 0² + 6²) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6*sqrt(2)

cos θ = -36 / (6*sqrt(2) * 6*sqrt(2)) = -36 / (36 * 2) = -36 / 72 = -1/2

Jika cos θ = -1/2, maka θ = 120 derajat.

Namun, dalam konteks geometri ruang, sudut antara dua garis biasanya diukur sebagai sudut lancip antara keduanya. Jika kita menganggap arah garis yang berlawanan untuk salah satunya, maka sudutnya akan menjadi 180 - 120 = 60 derajat.

Mari kita periksa kembali dengan menggunakan titik B sebagai titik asal.
B = (0,0,0)
A = (-6,0,0)
C = (-6,6,0)
E = (0,0,6)

Vektor AC = C - A = (-6 - (-6), 6-0, 0-0) = (0, 6, 0)
Vektor BE = E - B = (0-0, 0-0, 6-0) = (0, 0, 6)

AC · BE = (0)(0) + (6)(0) + (0)(6) = 0

Jika dot product-nya 0, artinya kedua vektor tegak lurus, sudutnya 90 derajat. Ini sepertinya tidak benar.

Mari kita gunakan cara lain dengan memproyeksikan vektor.
Misalkan kita ambil diagonal ruang yang sejajar dengan AC, yaitu AG.
Jika rusuk adalah s=6, maka AC = s√2 = 6√2.
BE adalah diagonal ruang. Panjang BE = s√3 = 6√3.

Mari kita ambil kubus dengan titik B di (0,0,0).
A = (6,0,0)
C = (6,6,0)
E = (0,0,6)
G = (6,6,6)

Vektor AC = C - A = (0,6,0)
Vektor BE = E - B = (0,0,6)

AC · BE = 0*0 + 6*0 + 0*6 = 0.
Ini berarti garis AC tegak lurus dengan garis BE. Sudutnya 90 derajat.

Mari kita pertimbangkan ulang penempatan titik dan vektor.
Kubus ABCD.EFGH. Rusuk = 6.
AC adalah diagonal alas ABCD.
BE adalah diagonal sisi ABFE.

Kita bisa menggunakan bantuan segitiga siku-siku.
Perhatikan segitiga siku-siku ABG. BG adalah diagonal sisi BCGF, BG = 6√2.
Perhatikan segitiga siku-siku BCE. CE adalah diagonal sisi CDHG, CE = 6√2.

Untuk mencari sudut antara AC dan BE, mari kita cari titik potong kedua diagonal tersebut, yaitu titik P.
P adalah titik tengah AC dan juga titik tengah BE.

Perhatikan bidang ABFE. AC tidak terletak pada bidang ini, tetapi kita bisa mencari garis sejajar AC pada bidang tersebut. Garis BD sejajar AC.
Jadi, sudut antara AC dan BE sama dengan sudut antara BD dan BE.

Perhatikan segitiga siku-siku BDG. BD = 6√2, BG = 6√2, DG = 6√3.

Mari kita gunakan vektor lagi dengan penempatan yang lebih standar.
B = (0,0,0)
A = (6,0,0)
C = (6,6,0)
E = (0,0,6)

Vektor AC = C - A = (6-6, 6-0, 0-0) = (0, 6, 0)
Vektor BE = E - B = (0-0, 0-0, 6-0) = (0, 0, 6)

AC · BE = 0*0 + 6*0 + 0*6 = 0. Ini kembali menunjukkan tegak lurus.

Sepertinya ada kesalahpahaman dalam penamaan titik atau vektor yang saya gunakan.

AC adalah diagonal alas. BE adalah diagonal sisi.

Coba kita pindahkan titik B ke (0,0,0).
A = (6,0,0)
B = (0,0,0)
C = (6,6,0)
D = (0,6,0)
E = (0,0,6)
F = (6,0,6)
G = (6,6,6)
H = (0,6,6)

Vektor AC = C - A = (6-6, 6-0, 0-0) = (0,6,0)
Vektor BE = E - B = (0-0, 0-0, 6-0) = (0,0,6)

Dot product AC.BE = 0. Ini berarti sudutnya 90 derajat.

Mari kita gunakan proyeksi.
Perhatikan bidang ABFE. Diagonalnya adalah AF dan BE.
AC adalah diagonal bidang alas.

Misalkan kita proyeksikan AC ke bidang ABFE. Proyeksi AC pada bidang ABFE adalah AB.
Panjang AB = 6.
Panjang BE = 6√2 (diagonal sisi).
Panjang AE = 6.

Sudut antara AC dan BE. Kita bisa membayangkan garis sejajar AC yang melalui B, yaitu BD.
Jadi sudut antara AC dan BE sama dengan sudut antara BD dan BE.

Perhatikan segitiga siku-siku BCD. BD = 6√2.
Perhatikan segitiga siku-siku BFG. BG = 6√2.
Perhatikan segitiga siku-siku BCDH. BH adalah diagonal ruang = 6√3.

Perhatikan segitiga siku-siku BFE. BE = 6√2, BF = 6, FE = 6.

Kita perlu mencari sudut antara diagonal bidang alas (AC) dan diagonal bidang sisi (BE).

Jika kita membuat garis sejajar AC yang melewati B, yaitu BD.
Kita cari sudut antara BD dan BE.

Dalam kubus, BD tegak lurus dengan BE. (Karena BD tegak lurus dengan bidang ABFE, maka BD tegak lurus dengan setiap garis di bidang tersebut termasuk BE).

Jadi, sudut antara AC dan BE adalah 90 derajat.

Mari kita pastikan dengan menggunakan teorema cosinus pada segitiga yang dibentuk oleh titik-titik yang relevan.

Jika kita ambil titik potong diagonal alas (P) dan titik potong diagonal sisi (Q).

Mari kita gunakan cara visual.
Bayangkan kubus ABCD.EFGH.
AC adalah diagonal bidang alas.
BE adalah diagonal bidang depan.

Kita bisa membuat garis dari B yang sejajar dengan AC, yaitu BD.
Maka sudut antara AC dan BE sama dengan sudut antara BD dan BE.

Perhatikan segitiga siku-siku ABFE. Sudut ABE = 45 derajat.
Perhatikan segitiga siku-siku ABCD. Sudut ABC = 90 derajat.

Mari kita gunakan proyeksi vektor.
A=(0,0,0), C=(6,6,0)
B=(0,0,0), E=(0,0,6)

Vektor AC = (6,6,0)
Vektor BE = (0,0,6)

AC · BE = 0. Sudut 90 derajat.

Sepertinya jawaban 90 derajat adalah benar.

Namun, mari kita coba pendekatan lain untuk memastikan.
Kita bisa memvisualisasikan segitiga yang dibentuk oleh perpotongan garis-garis tersebut.

Alternatif: Cari sudut antara diagonal ruang dan diagonal bidang.

Dalam kubus, diagonal bidang alas (seperti AC) dan diagonal bidang sisi (seperti BE) tidak selalu tegak lurus.

Coba kita lihat penempatan titiknya lagi.
A B C D
E F G H

AC adalah diagonal ABCD.
BE adalah diagonal ABFE.

Titik potong kedua diagonal ini tidak sama.

Mari kita ambil titik B sebagai pusat koordinat (0,0,0).
A = (6,0,0)
C = (6,6,0)
E = (0,0,6)

Vektor AC = C - A = (0,6,0)
Vektor BE = E - B = (0,0,6)

AC · BE = 0. Ini mengindikasikan sudut 90 derajat.

Namun, jika kita mengambil A sebagai titik asal:
A = (0,0,0)
C = (6,6,0)
B = (6,0,0)
E = (6,0,6)

Vektor AC = (6,6,0)
Vektor BE = E - B = (0,0,6)

AC · BE = 0. Tetap 90 derajat.

Jika kita ambil titik B = (0,0,0), A = (6,0,0), C = (6,6,0), E = (0,0,6).
Ini berarti kubus berada di kuadran positif.
AC menghubungkan (6,0,0) ke (6,6,0).
BE menghubungkan (0,0,0) ke (0,0,6).

Vektor AC = C - A = (0,6,0).
Vektor BE = E - B = (0,0,6).

AC · BE = 0.

Ada kemungkinan interpretasi yang berbeda dari soal.

Mari kita pertimbangkan diagonal ruang yang sejajar dengan salah satu garis.

Misalkan kita ambil garis AE dan BD. Sudutnya 90 derajat.

AC dan BE.
Coba kita buat garis sejajar AC yang melalui E. Misal titik F.
Kita cari sudut antara EF dan BE.

Perhatikan segitiga siku-siku ABE.
AB = 6, AE = 6, BE = 6√2.

Perhatikan segitiga siku-siku BCGF.
BC = 6, CG = 6, BG = 6√2.

Jika kita ingin mencari sudut antara AC dan BE, kita bisa menggunakan teorema proyeksi.
Proyeksikan AC pada bidang ABFE. Proyeksi AC pada bidang ABFE adalah AB.
Sudut antara AC dan BE adalah sudut antara AC dan proyeksinya pada bidang yang mengandung BE.

Mari kita lihat segitiga yang dibentuk oleh titik-titik yang relevan.
Perhatikan titik A, C, dan E. AC = 6√2, AE = 6, CE = 6√2.
Ini adalah segitiga sama kaki.

Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh titik A, B, dan C. Ini segitiga siku-siku sama kaki.

Jika kita menggambar kubus, dan mencari sudut antara AC dan BE.
Kita bisa memindahkan garis BE sehingga berawal dari A. Misalkan vektor BE' yang sejajar dengan BE dan berawal dari A. Maka E' akan berada di posisi D.
Jadi kita mencari sudut antara AC dan AD.
Sudut CAD adalah 45 derajat.

Ini berarti, sudut antara AC dan BE adalah 45 derajat.

Mari kita verifikasi dengan vektor.
A=(0,0,0)
C=(6,6,0)

Vektor AC = (6,6,0)

Untuk mencari vektor yang sejajar BE dan berawal dari A, kita perlu memindahkan titik B ke A.
Jika B=(0,0,0), maka E=(0,0,6). Vektor BE = (0,0,6).
Jika A=(0,0,0), maka titik yang sesuai dengan E adalah (0,0,6). Misalkan kita sebut vektor AE_sejajar.

Ini bukan cara yang benar.

Cara yang benar adalah mencari vektor AC dan vektor BE, lalu menghitung sudut di antaranya.

B = (0,0,0)
A = (6,0,0)
C = (6,6,0)
E = (0,0,6)

Vektor AC = C - A = (0,6,0)
Vektor BE = E - B = (0,0,6)

AC · BE = 0. Sudut 90 derajat.

Mari kita coba penempatan koordinat yang berbeda.
A=(0,0,0)
B=(6,0,0)
C=(6,6,0)
D=(0,6,0)
E=(0,0,6)
F=(6,0,6)
G=(6,6,6)
H=(0,6,6)

AC adalah diagonal alas. Vektor AC = C - A = (6,6,0).
BE adalah diagonal sisi depan. Vektor BE = E - B = (0-6, 0-0, 6-0) = (-6,0,6).

AC · BE = (6)(-6) + (6)(0) + (0)(6) = -36.

|AC| = sqrt(6^2 + 6^2 + 0^2) = sqrt(36+36) = sqrt(72) = 6√2.
|BE| = sqrt((-6)^2 + 0^2 + 6^2) = sqrt(36+36) = sqrt(72) = 6√2.

cos θ = (AC · BE) / (|AC| * |BE|)
cos θ = -36 / (6√2 * 6√2) = -36 / (36 * 2) = -36 / 72 = -1/2.

Jadi, θ = 120 derajat.

Karena sudut antara garis biasanya diukur sebagai sudut lancip, maka sudutnya adalah 180 - 120 = 60 derajat.

Mari kita periksa kembali. AC diagonal ABCD, BE diagonal ABFE.

Jika kita lihat segitiga ABG, AG adalah diagonal ruang.

Perhatikan segitiga siku-siku AEB. AE=6, AB=6, BE=6√2.
Perhatikan segitiga siku-siku ABC. AB=6, BC=6, AC=6√2.

Perhatikan segitiga ABG. AB=6, BG=6√2, AG=6√3.

Jika kita memproyeksikan AC pada bidang ABFE, proyeksinya adalah AB.
Sudut antara AC dan BE.

Mari kita gunakan titik B sebagai (0,0,0).
A = (6,0,0)
C = (6,6,0)
E = (0,0,6)

Vektor AC = C - A = (0,6,0)
Vektor BE = E - B = (0,0,6)

Ini masih memberikan hasil 90 derajat.

Mari kita kembali ke penempatan koordinat yang memberikan hasil 60 derajat:
A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), E=(0,0,6).
Ini adalah penempatan standar.
AC menghubungkan (0,0,0) ke (6,6,0). Vektor AC = (6,6,0).
BE menghubungkan (6,0,0) ke (0,0,6). Vektor BE = (-6,0,6).

AC · BE = -36.
|AC| = 6√2.
|BE| = 6√2.
cos θ = -36 / (72) = -1/2. θ = 120.
Sudut lancip = 60 derajat.

Jadi, besar sudut antara garis AC dan BE adalah 60 derajat.