Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Titik K

Jarak titik B ke HK adalah (12√5)/5 cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik B ke garis HK pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm dan titik K di tengah CG, kita perlu menggunakan konsep jarak titik ke garis dalam ruang.

1. **Visualisasi Kubus dan Titik:**
   - Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm.
   - Titik K berada di tengah CG, sehingga CK = KG = 3 cm.

2. **Menentukan Koordinat Titik (Pendekatan Analitik):**
   - Misalkan B = (0, 0, 0)
   - Maka C = (6, 0, 0)
   - G = (6, 6, 0)
   - H = (0, 6, 0)
   - F = (6, 6, 6)
   - E = (0, 6, 6)
   - D = (0, 0, 6)
   - A = (6, 0, 6)
   - Karena K di tengah CG, maka K = (6, 3, 0)

3. **Menentukan Vektor dan Garis HK:**
   - Vektor HK = K - H = (6, 3, 0) - (0, 6, 0) = (6, -3, 0)
   - Persamaan garis HK dapat ditulis dalam bentuk parametrik: HK(t) = H + t * HK = (0, 6, 0) + t(6, -3, 0) = (6t, 6 - 3t, 0)

4. **Mencari Jarak Titik B ke Garis HK:**
   - Jarak titik B ke garis HK adalah panjang vektor proyeksi PB, di mana P adalah titik pada garis HK sehingga BP tegak lurus HK.
   - Vektor BP = P - B = (6t, 6 - 3t, 0) - (0, 0, 0) = (6t, 6 - 3t, 0)
   - Agar BP tegak lurus HK, hasil kali titik BP . HK = 0:
     (6t, 6 - 3t, 0) . (6, -3, 0) = 0
     36t + (-3)(6 - 3t) = 0
     36t - 18 + 9t = 0
     45t = 18
     t = 18/45 = 2/5

   - Substitusikan nilai t kembali ke vektor BP:
     BP = (6 * (2/5), 6 - 3 * (2/5), 0) = (12/5, 6 - 6/5, 0) = (12/5, 24/5, 0)

   - Jarak titik B ke HK adalah panjang vektor BP:
     Jarak = |BP| = sqrt((12/5)^2 + (24/5)^2 + 0^2)
           = sqrt(144/25 + 576/25)
           = sqrt(720/25)
           = sqrt(144 * 5 / 25)
           = (12 * sqrt(5)) / 5 cm

   **Pendekatan Geometri (Lebih Ringkas):**
   - Proyeksikan titik B ke bidang CDHG. Proyeksi B adalah titik C.
   - Proyeksikan titik C ke garis HK. Jarak C ke HK dapat dihitung.
   - Namun, kita perlu jarak B ke HK. Perhatikan segitiga siku-siku BKH.
   - BH adalah diagonal sisi, BH = 6√2 cm.
   - Cari panjang BK. K adalah titik tengah CG, jadi BK adalah sisi tegak dari segitiga siku-siku BCK. BK = sqrt(BC^2 + CK^2) = sqrt(6^2 + 3^2) = sqrt(36 + 9) = sqrt(45) = 3√5 cm.
   - Perhatikan segitiga BKH. Kita perlu tinggi dari B ke HK.
   - Gunakan Luas Segitiga: Luas BKH = 1/2 * alas * tinggi.
   - Kita perlu panjang HK. HK adalah diagonal sisi kubus (sama dengan BH, BG, dll.), jadi HK = 6√2 cm.
   - Sekarang kita perlu mencari luas segitiga BKH. Ini agak rumit jika tidak menggunakan koordinat.
   - Kembali ke pendekatan koordinat, hasilnya adalah (12√5)/5 cm.