Jika dua akar persamaan x^2 + 2kx + 3k = 0 mempunyai

Nilai 5k adalah 20.

Pembahasan

Soal #4 berkaitan dengan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Persamaan yang diberikan adalah x^2 + 2kx + 3k = 0.
Diketahui bahwa dua akar persamaan tersebut memiliki perbandingan 1 : 3. Misalkan akar-akarnya adalah \u03b1 dan \u03b2.

Menurut soal, \u03b1 : \u03b2 = 1 : 3. Ini bisa kita tulis sebagai \u03b2 = 3\u03b1.

Dari sifat akar-akar persamaan kuadrat:
1. Jumlah akar: \u03b1 + \u03b2 = -b/a
   Dalam persamaan ini, a = 1, b = 2k, c = 3k.
   Jadi, \u03b1 + 3\u03b1 = -(2k)/1
   4\u03b1 = -2k
   \u03b1 = -2k / 4
   \u03b1 = -k/2

2. Hasil kali akar: \u03b1 * \u03b2 = c/a
   \u03b1 * (3\u03b1) = (3k)/1
   3\u03b1^2 = 3k
   \u03b1^2 = k

Sekarang kita substitusikan nilai \u03b1 dari persamaan jumlah akar ke persamaan hasil kali akar:
(-k/2)^2 = k
(k^2)/4 = k

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita pindahkan semua suku ke satu sisi:
k^2/4 - k = 0

Faktorkan k:
k(k/4 - 1) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan nilai untuk k:
1. k = 0
2. k/4 - 1 = 0  => k/4 = 1  => k = 4

Jika k = 0, maka persamaan menjadi x^2 = 0, yang akarnya adalah 0 dan 0. Perbandingannya 0:0 tidak terdefinisi atau bisa dianggap 1:1, bukan 1:3. Jadi, kita abaikan k=0.

Jika k = 4, kita periksa:
Persamaan menjadi x^2 + 2(4)x + 3(4) = 0 => x^2 + 8x + 12 = 0.
Faktorkan persamaan ini: (x + 2)(x + 6) = 0.
Akar-akarnya adalah x = -2 dan x = -6.
Perbandingan akar -2 : -6 adalah 1 : 3. Ini sesuai dengan kondisi soal.

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 4.

Soal meminta nilai 5k.
5k = 5 * 4 = 20.

Nilai 5k adalah 20.