Nilai limit x -> 0 ((2x)tan x)/(tan^2(x/6))=....

72

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit $\lim_{x \to 0} \frac{(2x)\tan x}{\tan^2(x/6)}$, kita dapat menggunakan sifat limit $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$. 

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Manipulasi ekspresi agar sesuai dengan sifat limit:
   $$ \frac{(2x)\tan x}{\tan^2(x/6)} = \frac{2x \cdot \tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6} \cdot \frac{x}{6})^2} = \frac{2x \cdot \tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2 \cdot \frac{x^2}{36}} $$ 
2. Pisahkan suku-suku yang mendekati 1:
   $$ \frac{2x \cdot \tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2 \cdot \frac{x^2}{36}} = \frac{2x}{\frac{x^2}{36}} \cdot \frac{\tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2} = \frac{2x \cdot 36}{x^2} \cdot \frac{\tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2} $$ 
3. Gunakan sifat $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ (atau $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$):
   $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot 36}{x^2} \cdot \frac{\tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2} = \lim_{x \to 0} \frac{72}{x} \cdot \frac{\tan x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2} $$ 
   Ada kesalahan dalam manipulasi di atas. Mari kita mulai lagi dengan cara yang lebih sistematis:
   $$ \lim_{x \to 0} \frac{(2x)\tan x}{\tan^2(x/6)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x \cdot \frac{\tan x}{x} \cdot x}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6} \cdot \frac{x}{6})^2} $$ 
   $$ = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 \cdot \frac{\tan x}{x}}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2 \cdot \frac{x^2}{36}} $$ 
   $$ = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{\tan x}{x}}{(\frac{\tan(x/6)}{x/6})^2 \cdot \frac{1}{36}} $$ 
   Sekarang terapkan limit saat $x \to 0$, dengan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x/6)}{x/6} = 1$:
   $$ = \frac{2 \cdot 1}{(1)^2 \cdot \frac{1}{36}} = \frac{2}{\frac{1}{36}} = 2 \cdot 36 = 72 $$ 

Jawaban singkatnya adalah 72.