Turunan pertama dari fungsi f(x)=(2 cos x-1)/cotan x adalah

Turunan pertama f(x) adalah 2 cos x - sec^2(x).

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = (2 cos x - 1) / cotan x, kita dapat menggunakan aturan pembagian (quotient rule) atau menyederhanakan fungsi terlebih dahulu.

Cara 1: Menggunakan Aturan Pembagian
Misalkan u = 2 cos x - 1 dan v = cotan x.
Maka, u' = -2 sin x.
Dan v' = -csc^2(x).

Aturan pembagian adalah f'(x) = (u'v - uv') / v^2.

f'(x) = ((-2 sin x)(cotan x) - (2 cos x - 1)(-csc^2(x))) / (cotan x)^2

Kita tahu cotan x = cos x / sin x dan csc x = 1 / sin x.

f'(x) = ((-2 sin x)(cos x / sin x) - (2 cos x - 1)(-1 / sin^2(x))) / (cos^2(x) / sin^2(x))

f'(x) = (-2 cos x + (2 cos x - 1) / sin^2(x)) / (cos^2(x) / sin^2(x))

f'(x) = (-2 cos x sin^2(x) + 2 cos x - 1) / sin^2(x) * (sin^2(x) / cos^2(x))

f'(x) = (-2 cos x sin^2(x) + 2 cos x - 1) / cos^2(x)

f'(x) = -2 sin^2(x) / cos^2(x) + (2 cos x - 1) / cos^2(x)

f'(x) = -2 tan^2(x) + (2 cos x / cos^2(x)) - (1 / cos^2(x))

f'(x) = -2 tan^2(x) + 2 sec x - sec^2(x)

Cara 2: Menyederhanakan Fungsi Terlebih Dahulu
f(x) = (2 cos x - 1) / cotan x

Karena cotan x = 1 / tan x, maka 1 / cotan x = tan x.

f(x) = (2 cos x - 1) tan x

f(x) = (2 cos x - 1) (sin x / cos x)

f(x) = (2 cos x)(sin x / cos x) - 1 (sin x / cos x)

f(x) = 2 sin x - tan x

Sekarang, kita turunkan f(x) = 2 sin x - tan x.

f'(x) = d/dx (2 sin x) - d/dx (tan x)

f'(x) = 2 cos x - sec^2(x)

Mari kita periksa kembali hasil dari Cara 1.
Dalam Cara 1, kita mendapatkan f'(x) = -2 tan^2(x) + 2 sec x - sec^2(x).
Sepertinya ada kesalahan dalam penyederhanaan Cara 1.

Mari kita ulangi penyederhanaan Cara 1:
f'(x) = (-2 cos x sin^2(x) + 2 cos x - 1) / cos^2(x)
f'(x) = -2 cos x sin^2(x) / cos^2(x) + 2 cos x / cos^2(x) - 1 / cos^2(x)
f'(x) = -2 cos x (sin^2(x) / cos^2(x)) + 2 sec x - sec^2(x)
f'(x) = -2 cos x tan^2(x) + 2 sec x - sec^2(x).
Ini masih berbeda.

Mari kita cek kembali turunan dari cotan x adalah -csc^2(x).

Kembali ke f'(x) = ((-2 sin x)(cotan x) - (2 cos x - 1)(-csc^2(x))) / (cotan x)^2
f'(x) = ((-2 sin x)(cos x / sin x) + (2 cos x - 1)(1 / sin^2(x))) / (cos^2(x) / sin^2(x))
f'(x) = (-2 cos x + (2 cos x - 1) / sin^2(x)) / (cos^2(x) / sin^2(x))
Kalikan pembilang dan penyebut dengan sin^2(x):
f'(x) = (-2 cos x sin^2(x) + 2 cos x - 1) / cos^2(x)

Sekarang kita gunakan identitas sin^2(x) = 1 - cos^2(x):
f'(x) = (-2 cos x (1 - cos^2(x)) + 2 cos x - 1) / cos^2(x)
f'(x) = (-2 cos x + 2 cos^3(x) + 2 cos x - 1) / cos^2(x)
f'(x) = (2 cos^3(x) - 1) / cos^2(x)
f'(x) = 2 cos^3(x) / cos^2(x) - 1 / cos^2(x)
f'(x) = 2 cos x - sec^2(x).

Ah, Cara 1 sekarang cocok dengan Cara 2 setelah penyederhanaan yang benar.

Jadi, turunan pertama dari f(x) = (2 cos x - 1) / cotan x adalah 2 cos x - sec^2(x).