Diketahui kubus ABCD.EFGH yang mempunyai panjang rusuk 1

Jarak D ke bidang EBG adalah $\\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk menentukan jarak dari titik D ke bidang EBG pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 1 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi titik pada bidang. Bidang EBG dibentuk oleh titik E, B, dan G. Pertama, mari kita tentukan koordinat titik-titik tersebut dengan menganggap titik D sebagai pusat koordinat (0,0,0). Maka, koordinat titik-titik tersebut adalah:
D = (0, 0, 0)
A = (1, 0, 0)
B = (1, 1, 0)
C = (0, 1, 0)
E = (1, 0, 1)
F = (1, 1, 1)
G = (0, 1, 1)
H = (0, 0, 1)

Bidang EBG melewati titik E(1,0,1), B(1,1,0), dan G(0,1,1). Vektor normal bidang dapat dicari dengan hasil perkalian silang dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya vektor EB dan vektor EG.
$\\vec{EB} = B - E = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1)$
$\\vec{EG} = G - E = (0, 1, 1) - (1, 0, 1) = (-1, 1, 0)$

Vektor normal $n = \\vec{EB} \\times \\vec{EG} = \\begin{vmatrix} i & j & k \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = i(0 - (-1)) - j(0 - 1) + k(0 - (-1)) = i + j + k = (1, 1, 1)$

Persamaan bidang EBG adalah $1(x - 1) + 1(y - 0) + 1(z - 1) = 0$, yang disederhanakan menjadi $x + y + z - 2 = 0$.

Jarak dari titik D(0,0,0) ke bidang EBG adalah menggunakan rumus jarak titik ke bidang: $d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Di sini, $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$ dan persamaan bidangnya adalah $x + y + z - 2 = 0$, sehingga A=1, B=1, C=1, D=-2.
$d = \\frac{|1(0) + 1(0) + 1(0) - 2|}{\\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \\frac{|-2|}{\\sqrt{3}} = \\frac{2}{\\sqrt{3}} = \\frac{2 \\sqrt{3}}{3}$ cm.