Diketahui kubus ABCDEFGH dengan rusuk a. T adalah suatu

Panjang PQ adalah (a√2)/3.

Pembahasan

Untuk menentukan panjang PQ, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke garis dan bidang dalam ruang.

Diketahui kubus ABCDEFGH dengan rusuk a. T adalah titik pada perpanjangan AE sehingga TE = 1/2 a.
Bidang TBD memotong bidang atas EFGH sepanjang PQ.

Langkah 1: Visualisasikan kubus dan titik T.
Kubus memiliki titik A di (0,0,0), B di (a,0,0), C di (a,a,0), D di (0,a,0), E di (0,0,a), F di (a,0,a), G di (a,a,a), H di (0,a,a).
Titik T berada pada perpanjangan AE, berarti T berada pada sumbu z di atas E. Koordinat T adalah (0,0, a + 1/2 a) = (0, 0, 3/2 a).

Langkah 2: Tentukan persamaan bidang TBD.
Titik T = (0, 0, 3/2 a), B = (a, 0, 0), D = (0, a, 0).
Kita dapat mencari vektor normal bidang (n) dengan hasil kali silang dua vektor pada bidang, misalnya TB dan TD.
TB = B - T = (a, 0, -3/2 a)
TD = D - T = (0, a, -3/2 a)

n = TB x TD = 
| i    j    k   |
| a    0   -3/2 a |
| 0    a   -3/2 a |

n = i(0*(-3/2 a) - a*(-3/2 a)) - j(a*(-3/2 a) - 0*(-3/2 a)) + k(a*a - 0*0)
n = i(3/2 a^2) - j(-3/2 a^2) + k(a^2)
n = (3/2 a^2, 3/2 a^2, a^2)

Persamaan bidang TBD adalah: (3/2 a^2)x + (3/2 a^2)y + a^2z = d.
Gunakan titik T(0, 0, 3/2 a) untuk mencari d:
(3/2 a^2)(0) + (3/2 a^2)(0) + a^2(3/2 a) = d
d = 3/2 a^3

Jadi, persamaan bidang TBD adalah: (3/2 a^2)x + (3/2 a^2)y + a^2z = 3/2 a^3. Bisa disederhanakan menjadi 3x + 3y + 2z = 3a.

Langkah 3: Tentukan persamaan bidang atas EFGH.
Bidang atas EFGH adalah bidang z = a.

Langkah 4: Cari titik potong PQ.
PQ adalah garis potong antara bidang TBD dan bidang EFGH. Substitusikan z = a ke persamaan bidang TBD:
3x + 3y + 2(a) = 3a
3x + 3y = 3a - 2a
3x + 3y = a

Garis PQ terletak pada bidang z = a dan memenuhi persamaan 3x + 3y = a.

Langkah 5: Tentukan titik P dan Q.
Titik P dan Q adalah titik pada bidang EFGH yang dilalui oleh garis potong ini. Kita perlu mencari titik-titik spesifik pada garis 3x + 3y = a di bidang z = a.

Karena PQ adalah perpanjangan dari garis potong, kita perlu melihat bagaimana bidang TBD memotong rusuk-rusuk EF dan HG (atau EH dan FG).

Perhatikan bidang TBD memotong bidang EFGH. Garis potong PQ akan sejajar dengan BD (karena TBD sejajar dengan bidang yang memotong EFGH secara horizontal).
Namun, ini tidak benar. Kita perlu mencari titik-titik di EFGH yang berada pada bidang TBD.

Mari kita tinjau ulang. Bidang TBD memotong rusuk EF di P dan rusuk HG di Q.

Untuk mencari P (di EF), koordinat P adalah (x, 0, a).
Substitusikan ke persamaan bidang TBD: 3x + 3(0) + 2(a) = 3a => 3x = a => x = a/3.
Jadi, P = (a/3, 0, a).

Untuk mencari Q (di HG), koordinat Q adalah (0, y, a).
Substitusikan ke persamaan bidang TBD: 3(0) + 3y + 2(a) = 3a => 3y = a => y = a/3.
Jadi, Q = (0, a/3, a).

Langkah 6: Hitung panjang PQ.
PQ adalah jarak antara titik P(a/3, 0, a) dan Q(0, a/3, a).
PQ = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)
PQ = sqrt((0 - a/3)^2 + (a/3 - 0)^2 + (a - a)^2)
PQ = sqrt((-a/3)^2 + (a/3)^2 + 0^2)
PQ = sqrt(a^2/9 + a^2/9)
PQ = sqrt(2a^2/9)
PQ = (a * sqrt(2)) / 3

Jadi, panjang PQ adalah (a√2)/3.