Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 10 cm. Jarak

Jarak dari titik R ke diagonal sisi PW adalah $5\sqrt{6}$ cm.

Pembahasan

Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 10 cm. Kita perlu mencari jarak dari titik R ke diagonal sisi PW.

Misalkan titik P berada di (0, 0, 0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
Q = (10, 0, 0)
R = (10, 10, 0)
S = (0, 10, 0)
T = (0, 0, 10)
U = (10, 0, 10)
V = (10, 10, 10)
W = (0, 10, 10)

Kita akan mencari jarak dari titik R (10, 10, 0) ke diagonal sisi PW.

P adalah titik (0, 0, 0).
W adalah titik (0, 10, 10).

Persamaan garis PW dapat direpresentasikan sebagai vektor: $\vec{P} + t(\vec{W} - \vec{P}) = (0,0,0) + t(0, 10, 10) = (0, 10t, 10t)$, di mana $0 \le t \le 1$.

Untuk mencari jarak terpendek dari titik R ke garis PW, kita cari titik pada garis PW yang terdekat dengan R. Misalkan titik tersebut adalah X.
$\\vec{RX} = \vec{X} - \vec{R} = (0, 10t, 10t) - (10, 10, 0) = (-10, 10t-10, 10t)$.

Syarat jarak terpendek adalah $\\vec{RX}$ tegak lurus terhadap arah garis PW (vektor $\\vec{PW} = (0, 10, 10)$).
$\vec{RX} \cdot \vec{PW} = 0$
$(-10)(0) + (10t-10)(10) + (10t)(10) = 0$
$0 + 100t - 100 + 100t = 0$
$200t - 100 = 0$
$200t = 100$
$t = 1/2$

Jadi, titik terdekat pada garis PW dengan R adalah X = (0, 10*(1/2), 10*(1/2)) = (0, 5, 5).

Sekarang kita hitung jarak antara R (10, 10, 0) dan X (0, 5, 5):
Jarak RX = $\sqrt{(10-0)^2 + (10-5)^2 + (0-5)^2}$
Jarak RX = $\sqrt{10^2 + 5^2 + (-5)^2}$
Jarak RX = $\sqrt{100 + 25 + 25}$
Jarak RX = $\sqrt{150}$
Jarak RX = $\sqrt{25 * 6}$
Jarak RX = $5\sqrt{6}$ cm.

Jadi, jarak dari titik R ke diagonal sisi PW adalah $5\sqrt{6}$ cm.