Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas

60/13 cm

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik O ke bidang TBC, kita perlu menggunakan konsep proyeksi titik ke bidang dalam geometri ruang. Pertama, kita tentukan koordinat titik-titik sudut limas.
Misalkan O sebagai titik pusat alas (0,0,0).
Karena alasnya persegi dengan panjang rusuk 10 cm, maka koordinat titik A, B, C, D dapat ditentukan.
B = (5, -5, 0), C = (5, 5, 0), D = (-5, 5, 0)
Tinggi limas adalah 12 cm, maka koordinat T = (0, 0, 12).
Titik O adalah pertengahan diagonal BD, sehingga O = ((-5 + -5)/2, (5 + 5)/2, (0+0)/2) = (-5, 5, 0). 
Namun, jika O adalah titik pusat alas, maka koordinat O adalah (0,0,0).

Bidang TBC dibentuk oleh titik T(0,0,12), B(5,-5,0), dan C(5,5,0).
Untuk mencari jarak titik O(0,0,0) ke bidang TBC, kita perlu mencari persamaan bidang TBC.

Persamaan bidang yang melalui titik (x0, y0, z0) dengan vektor normal (A, B, C) adalah A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0.

Kita cari dua vektor yang terletak pada bidang TBC:
$\\\vec{TB} = B - T = (5, -5, -12)$\
$\\\vec{TC} = C - T = (5, 5, -12)$\

Vektor normal bidang TBC adalah hasil perkalian silang $\\\vec{TB} \\times \\vec{TC}$: \
$\\\vec{n} = \\begin{vmatrix} i & j & k \\ 5 & -5 & -12 \\ 5 & 5 & -12 \\end{vmatrix} = i(60 - (-60)) - j(-60 - (-60)) + k(25 - (-25)) = 120i + 0j + 50k = (120, 0, 50)$\

Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (12, 0, 5).
Persamaan bidang TBC yang melalui titik T(0,0,12) dengan vektor normal (12, 0, 5) adalah:
$12(x-0) + 0(y-0) + 5(z-12) = 0$
$12x + 5z - 60 = 0$

Jarak titik O(0,0,0) ke bidang TBC adalah:
$d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)$
$d = |12(0) + 0(0) + 5(0) - 60| / sqrt(12^2 + 0^2 + 5^2)$
$d = |-60| / sqrt(144 + 0 + 25)$
$d = 60 / sqrt(169)$
$d = 60 / 13$

Jadi, jarak titik O terhadap bidang TBC adalah 60/13 cm.