Fungsi y=1/3(n-2)^2 x^3+x^2-5 nx mempunyai nilai minimum

n = 3

Pembahasan

Kita diberikan fungsi $y = 1/3(n-2)^2 x^3 + x^2 - 5nx$ yang memiliki nilai minimum -27 pada saat $x = 3$. Kita perlu menentukan nilai $n$.

Langkah 1: Cari turunan pertama dari fungsi y terhadap x ($y'$).
$y' = d/dx [1/3(n-2)^2 x^3 + x^2 - 5nx]$
$y' = 1/3(n-2)^2 * 3x^2 + 2x - 5n$
$y' = (n-2)^2 x^2 + 2x - 5n$

Langkah 2: Gunakan informasi bahwa fungsi memiliki nilai minimum pada $x=3$. Ini berarti turunan pertama pada $x=3$ adalah nol ($y'(3)=0$).
Substitusikan $x=3$ ke dalam $y'$:
$y'(3) = (n-2)^2 (3)^2 + 2(3) - 5n = 0$
$9(n-2)^2 + 6 - 5n = 0$
$9(n^2 - 4n + 4) + 6 - 5n = 0$
$9n^2 - 36n + 36 + 6 - 5n = 0$
$9n^2 - 41n + 42 = 0$

Langkah 3: Selesaikan persamaan kuadrat untuk n. Kita bisa menggunakan rumus ABC atau faktorisasi. Mari kita coba faktorisasi:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $9 * 42 = 378$ dan jika dijumlahkan menghasilkan -41. Bilangan tersebut adalah -14 dan -27.
$9n^2 - 27n - 14n + 42 = 0$
$9n(n - 3) - 14(n - 3) = 0$
$(9n - 14)(n - 3) = 0$

Maka, solusi untuk n adalah $n = 14/9$ atau $n = 3$.

Langkah 4: Gunakan informasi bahwa nilai minimumnya adalah -27 pada $x=3$. Substitusikan $x=3$ dan $y=-27$ ke dalam persamaan fungsi awal, dan uji kedua nilai n yang ditemukan.

Kasus 1: $n = 3$
$y = 1/3(3-2)^2 x^3 + x^2 - 5(3)x$
$y = 1/3(1)^2 x^3 + x^2 - 15x$
$y = 1/3 x^3 + x^2 - 15x$
Substitusikan $x=3$:
$y = 1/3 (3)^3 + (3)^2 - 15(3)$
$y = 1/3 (27) + 9 - 45$
$y = 9 + 9 - 45$
$y = 18 - 45 = -27$
Nilai ini cocok dengan informasi yang diberikan.

Kasus 2: $n = 14/9$
$y = 1/3(14/9 - 2)^2 x^3 + x^2 - 5(14/9)x$
$y = 1/3(14/9 - 18/9)^2 x^3 + x^2 - 70/9 x$
$y = 1/3(-4/9)^2 x^3 + x^2 - 70/9 x$
$y = 1/3(16/81) x^3 + x^2 - 70/9 x$
$y = 16/243 x^3 + x^2 - 70/9 x$
Substitusikan $x=3$:
$y = 16/243 (3)^3 + (3)^2 - 70/9 (3)$
$y = 16/243 (27) + 9 - 210/9$
$y = 16/9 + 9 - 70/3$
$y = 16/9 + 81/9 - 210/9$
$y = (16 + 81 - 210) / 9$
$y = (97 - 210) / 9 = -113/9$
Nilai ini tidak cocok dengan informasi yang diberikan (-27).

Selain itu, kita perlu memastikan bahwa pada $x=3$ memang terjadi nilai minimum. Kita cek turunan kedua ($y''$).
Jika $n=3$, maka $y' = (3-2)^2 x^2 + 2x - 5(3) = x^2 + 2x - 15$. 
$y'' = 2x + 2$.
Pada $x=3$, $y'' = 2(3) + 2 = 6 + 2 = 8$. Karena $y'' > 0$, maka pada $x=3$ terjadi nilai minimum. 

Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 3.