Diketahui limas beraturan T.KLMN dengan panjang KL=8 cm,

√3/3

Pembahasan

Diketahui limas beraturan T.KLMN dengan KL=8 cm, LM=8 cm, dan MT=8 cm. Titik O adalah perpotongan diagonal KM dan LN. Karena limas beraturan dengan alas persegi, maka diagonal KM = LN = 8√2 cm. O adalah titik tengah diagonal, sehingga KO = OM = LO = ON = 4√2 cm. Segitiga TKL adalah segitiga sama kaki, tinggi limas (TO) dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TOM (jika alasnya persegi, maka T ke O adalah tinggi tegak lurus bidang alas). Dengan TM = 8 cm dan OM = 4√2 cm, maka TO^2 = TM^2 - OM^2 = 8^2 - (4√2)^2 = 64 - 32 = 32. Jadi, TO = √32 = 4√2 cm.  Sekarang kita perlu mencari sinus sudut antara ruas garis TO dan bidang TLM. Bidang TLM adalah salah satu sisi tegak limas. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut. Proyeksi TO pada bidang TLM adalah TO itu sendiri karena TO tegak lurus bidang alas KLMN, yang berarti TO juga tegak lurus terhadap setiap garis di bidang alas yang melaluinya. Namun, pertanyaan meminta sudut antara TO dan bidang TLM, bukan bidang KLMN.  Mari kita analisis kembali. TO adalah tinggi limas. Bidang TLM adalah sisi tegak. Proyeksi TO pada bidang TLM adalah garis dari T yang tegak lurus bidang TLM. Ini bukan TO.  Kita perlu mencari sudut antara TO dan bidang TLM. Bidang TLM dibentuk oleh titik T, L, dan M. Kita perlu mencari sudut antara garis TO dan bidang TLM. Ini memerlukan pemahaman tentang bagaimana TO berhubungan dengan bidang TLM. Karena TO adalah tinggi limas dan O berada di pusat alas, TO tegak lurus terhadap bidang alas KLMN.  Untuk mencari sinus sudut antara TO dan bidang TLM, kita perlu mencari garis pada bidang TLM yang paling dekat dengan TO atau menentukan vektor normal bidang TLM.  Mengingat limas beraturan T.KLMN dengan alas persegi KLMN, sisi tegak TLM adalah segitiga sama kaki.  Misalkan kita gunakan vektor. Misalkan O=(0,0,0). Maka K=(-4,-4,0), L=(-4,4,0), M=(4,4,0), N=(4,-4,0). T=(0,0,h).  Jarak TM = 8.  TM^2 = (4-0)^2 + (4-0)^2 + (0-h)^2 = 16 + 16 + h^2 = 32 + h^2.  8^2 = 64 = 32 + h^2. Maka h^2 = 32, h = 4√2. Jadi T = (0,0,4√2). TO adalah vektor (0,0,4√2).  Bidang TLM dibentuk oleh vektor TL = L-T = (-4, 4, -4√2) dan TM = M-T = (4, 4, -4√2). Vektor normal bidang n = TL x TM = (16√2 - (-16√2), 16√2 - 16√2, -16 - 16) = (32√2, 0, -32). Kita bisa sederhanakan menjadi n = (√2, 0, -1).  Sinus sudut antara garis TO dan bidang TLM diberikan oleh |TO · n| / (||TO|| ||n||). TO = (0,0,4√2). ||TO|| = 4√2. ||n|| = √((√2)^2 + 0^2 + (-1)^2) = √(2+1) = √3.  TO · n = (0)(√2) + (0)(0) + (4√2)(-1) = -4√2.  |TO · n| = 4√2.  Sinus sudut = (4√2) / (4√2 * √3) = 1/√3 = √3/3.  Jadi, nilai sinus sudut antara ruas garis TO dan bidang TLM adalah √3/3.