Diketahui O adalah titik pangkal, dengan vektor OA

Vektor PQ = -4i + 6j - 6k

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep vektor dan bagaimana melakukan operasi vektor, khususnya pembagian ruas garis.

Diketahui:
Vektor posisi titik A dari pangkal O: OA = 2i - 2j + 4k
Vektor posisi titik B dari pangkal O: OB = -2i + 4j - 2k

Titik P membagi garis AB sedemikian sehingga vektor AP = vektor PB. Ini berarti P adalah titik tengah garis AB.
Vektor posisi P dapat dihitung dengan rumus titik tengah:
OP = (OA + OB) / 2
OP = ((2i - 2j + 4k) + (-2i + 4j - 2k)) / 2
OP = ( (2-2)i + (-2+4)j + (4-2)k ) / 2
OP = (0i + 2j + 2k) / 2
OP = j + k

Titik Q membagi garis AB sedemikian sehingga vektor AQ = -3 vektor QB. Ini berarti Q membagi garis AB dalam perbandingan 3:1 (karena vektor AQ berlawanan arah dengan vektor QB).
Perhatikan bahwa vektor AB = OB - OA = (-2i + 4j - 2k) - (2i - 2j + 4k) = -4i + 6j - 6k.
Vektor AQ = (3/4) * vektor AB (jika Q membagi di dalam perbandingan 3:1, AQ/QB = 3/1)
Namun, dari vektor AQ = -3 vektor QB, kita bisa tulis sebagai vektor AQ = -3 (OB - OQ).
Dan vektor AB = OB - OA.
Karena Q berada pada garis AB, maka vektor OQ dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari OA dan OB.
Kita bisa gunakan rumus pembagian ruas garis:
OQ = (m*OB + n*OA) / (m+n)
Dalam kasus ini, AQ : QB = 3 : -1 (karena arahnya berlawanan dan rasio panjangnya 3:1).
Jadi, m = 3 dan n = -1.
OQ = (3 * OB + (-1) * OA) / (3 + (-1))
OQ = (3 * (-2i + 4j - 2k) - (2i - 2j + 4k)) / 2
OQ = ((-6i + 12j - 6k) - (2i - 2j + 4k)) / 2
OQ = (-6i - 2i + 12j + 2j - 6k - 4k) / 2
OQ = (-8i + 14j - 10k) / 2
OQ = -4i + 7j - 5k

Sekarang kita perlu mencari vektor PQ:
PQ = OQ - OP
PQ = (-4i + 7j - 5k) - (j + k)
PQ = -4i + (7-1)j + (-5-1)k
PQ = -4i + 6j - 6k

Jadi, vektor PQ adalah -4i + 6j - 6k.