Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang AB = 6 cm

Jarak antara titik T dengan bidang ABC adalah $2\sqrt{13}$ cm.

Pembahasan

Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC, yang berarti alasnya (segitiga ABC) adalah segitiga sama sisi dan rusuk-rusuk tegaknya (TA, TB, TC) memiliki panjang yang sama.

Diketahui panjang AB = 6 cm (sisi alas) dan TA = 8 cm (rusuk tegak).

Untuk menentukan jarak antara titik T dengan bidang ABC, kita perlu mencari panjang garis tegak lurus dari titik T ke bidang alas ABC.

Karena limas beraturan, titik T berada tepat di atas pusat alas (titik berat segitiga ABC). Misalkan O adalah titik pusat alas ABC. Maka, TO adalah jarak antara titik T dengan bidang ABC.

Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi 6 cm. Jarak dari titik sudut ke titik berat pada segitiga sama sisi adalah 2/3 dari panjang garis tingginya.

Pertama, cari panjang garis tinggi segitiga ABC (misalnya dari A ke titik tengah BC, sebut saja M). Segitiga ABM adalah segitiga siku-siku di M.
$AM^2 + BM^2 = AB^2$
$AM^2 + (6/2)^2 = 6^2$
$AM^2 + 3^2 = 36$
$AM^2 + 9 = 36$
$AM^2 = 27$
$AM = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ cm.

Jarak dari titik A ke titik berat O (AO) adalah 2/3 dari AM:
$AO = (2/3) * AM = (2/3) * 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ cm.

Sekarang, perhatikan segitiga siku-siku TOA (siku-siku di O). Kita tahu TA = 8 cm dan AO = $2\sqrt{3}$ cm.
Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari TO:
$TO^2 + AO^2 = TA^2$
$TO^2 + (2\sqrt{3})^2 = 8^2$
$TO^2 + (4 * 3) = 64$
$TO^2 + 12 = 64$
$TO^2 = 64 - 12$
$TO^2 = 52$
$TO = \sqrt{52} = \sqrt{4 * 13} = 2\sqrt{13}$ cm.

Jadi, jarak antara titik T dengan bidang ABC adalah $2\sqrt{13}$ cm.