Diketahui limas T.ABC dengan alas segitiga sama sisi. Garis

Jarak titik T ke garis AB adalah $\frac{\sqrt{19}}{2}$ cm.

Pembahasan

Diberikan limas T.ABC dengan alas segitiga sama sisi AB = 1 cm. Garis CT tegak lurus terhadap bidang alas, dan CT = 2 cm. Kita perlu mencari jarak titik T ke garis AB.

Karena CT tegak lurus terhadap bidang alas, maka CT tegak lurus terhadap setiap garis di bidang alas yang melalui C. Namun, kita perlu jarak dari T ke garis AB.

Karena alasnya adalah segitiga sama sisi ABC, kita dapat menggambar garis tinggi dari C ke AB, atau dari A ke BC, atau dari B ke AC. Misalkan kita ambil garis tinggi dari C ke AB, dan sebut titik potongnya adalah D.

Karena segitiga ABC adalah segitiga sama sisi, titik D adalah titik tengah AB. Jadi, AD = DB = AB/2 = 1/2 cm.

Dalam segitiga sama sisi, garis tinggi juga merupakan garis berat dan garis bagi. Segitiga ADC adalah segitiga siku-siku di D.

Kita bisa mencari panjang CD menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ADC:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Karena ABC adalah segitiga sama sisi dengan AB = 1 cm, maka AC = BC = AB = 1 cm.
1^2 = (1/2)^2 + CD^2
1 = 1/4 + CD^2
CD^2 = 1 - 1/4
CD^2 = 3/4
CD = sqrt(3/4) = sqrt(3)/2 cm.

Sekarang, kita perlu mencari jarak dari titik T ke garis AB. Jarak dari titik ke garis adalah panjang garis tegak lurus dari titik tersebut ke garis. Kita sudah tahu bahwa CT tegak lurus terhadap bidang alas. Garis AB terletak di bidang alas. Maka, CT tegak lurus terhadap AB.

Untuk mencari jarak titik T ke garis AB, kita perlu menemukan titik pada garis AB yang terdekat dengan T. Titik D pada garis AB, di mana CD tegak lurus AB, adalah titik tengah AB. Karena CT tegak lurus bidang alas, maka CT tegak lurus terhadap setiap garis di bidang alas, termasuk CD.

Perhatikan segitiga TCD. Segitiga ini adalah segitiga siku-siku di C, karena CT tegak lurus bidang alas, yang berarti CT tegak lurus dengan garis CD yang berada di bidang alas.

Kita ingin mencari jarak dari T ke garis AB. Garis yang tegak lurus dari T ke garis AB adalah garis yang tegak lurus terhadap AB dan melalui T. Perhatikan bahwa CD tegak lurus terhadap AB.

Sekarang, kita perlu mencari garis dari T yang tegak lurus terhadap AB. Karena CT tegak lurus bidang alas, maka CT tegak lurus terhadap CD. Jadi, kita perlu mencari proyeksi T pada garis yang tegak lurus AB. Dalam kasus ini, kita perlu mencari jarak dari T ke garis AB. Garis CD adalah garis yang tegak lurus terhadap AB di titik D.

Perhatikan segitiga TCD. Kita memiliki CT = 2 cm dan CD = sqrt(3)/2 cm. Segitiga TCD siku-siku di C.

Jarak dari T ke garis AB adalah panjang garis dari T yang tegak lurus terhadap AB. Kita tahu bahwa garis CD tegak lurus terhadap AB. Kita perlu mencari garis dari T yang tegak lurus terhadap AB. Garis TD akan menjadi jarak dari T ke garis AB jika TD tegak lurus terhadap AB. Namun, kita tidak dapat langsung menyimpulkan ini.

Mari kita pertimbangkan bidang yang dibentuk oleh CT dan CD. Bidang ini adalah bidang TCD. Garis AB tegak lurus terhadap bidang TCD di titik D.

Jarak dari titik T ke garis AB adalah panjang proyeksi T pada garis AB. Dalam segitiga TCD, kita memiliki sisi-sisi CT dan CD. Kita perlu mencari jarak dari T ke garis AB. Garis TD adalah garis yang menghubungkan T dengan titik D pada AB.

Kita perlu mencari garis dari T yang tegak lurus dengan AB. Karena CT tegak lurus bidang alas, maka CT tegak lurus dengan CD. Segitiga TCD siku-siku di C. Kita mencari jarak dari T ke garis AB. Garis CD tegak lurus dengan AB di D.

Perhatikan bidang TCD. Garis AB tegak lurus terhadap bidang TCD (karena AB tegak lurus CD dan AB tegak lurus CT). Maka, jarak dari T ke garis AB adalah panjang segmen garis dari T yang tegak lurus terhadap AB. Segmen garis tersebut adalah TD.

Kita perlu menghitung panjang TD menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TCD (yang siku-siku di C):
TD^2 = CT^2 + CD^2
TD^2 = (2)^2 + (sqrt(3)/2)^2
TD^2 = 4 + 3/4
TD^2 = 16/4 + 3/4
TD^2 = 19/4
TD = sqrt(19/4) = sqrt(19)/2 cm.

Jadi, jarak titik T ke garis AB adalah sqrt(19)/2 cm.