lim _(x -> 0) (cos 7 x-cos 3 x)/(4 cos 6 x-4)=..

Nilai limitnya adalah 5/18.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan. 

lim (cos 7x - cos 3x) / (4 cos 6x - 4) saat x mendekati 0.

Jika kita substitusikan x = 0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu (0/0) karena:
cos(0) = 1
cos(7*0) = 1
cos(3*0) = 1
cos(6*0) = 1

Sehingga, pembilang menjadi: cos(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0
Penyebut menjadi: 4 cos(0) - 4 = 4(1) - 4 = 0

Karena bentuknya 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital, yaitu menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan dari pembilang (cos 7x - cos 3x) terhadap x adalah:
d/dx (cos 7x) = -7 sin 7x
d/dx (cos 3x) = -3 sin 3x
Jadi, turunan pembilang = -7 sin 7x - (-3 sin 3x) = -7 sin 7x + 3 sin 3x

Turunan dari penyebut (4 cos 6x - 4) terhadap x adalah:
d/dx (4 cos 6x) = 4 * (-6 sin 6x) = -24 sin 6x
d/dx (-4) = 0
Jadi, turunan penyebut = -24 sin 6x

Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan tersebut:
lim (-7 sin 7x + 3 sin 3x) / (-24 sin 6x) saat x mendekati 0.

Kita substitusikan x = 0 lagi:
Pembilang: -7 sin(0) + 3 sin(0) = -7(0) + 3(0) = 0
Penyebut: -24 sin(0) = -24(0) = 0

Karena masih dalam bentuk 0/0, kita terapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (-7 sin 7x + 3 sin 3x) terhadap x adalah:
d/dx (-7 sin 7x) = -7 * (7 cos 7x) = -49 cos 7x
d/dx (3 sin 3x) = 3 * (3 cos 3x) = 9 cos 3x
Jadi, turunan pembilang = -49 cos 7x + 9 cos 3x

Turunan dari penyebut (-24 sin 6x) terhadap x adalah:
d/dx (-24 sin 6x) = -24 * (6 cos 6x) = -144 cos 6x

Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan kedua:
lim (-49 cos 7x + 9 cos 3x) / (-144 cos 6x) saat x mendekati 0.

Substitusikan x = 0:
cos(0) = 1

Pembilang: -49 cos(0) + 9 cos(0) = -49(1) + 9(1) = -49 + 9 = -40
Penyebut: -144 cos(0) = -144(1) = -144

Hasil limit = -40 / -144

Sederhanakan pecahan:
-40 / -144 = 40 / 144
Bagi kedua angka dengan 8:
40 / 8 = 5
144 / 8 = 18

Hasilnya adalah 5/18.

Alternatif menggunakan identitas trigonometri:
cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)
cos 7x - cos 3x = -2 sin((7x+3x)/2) sin((7x-3x)/2)
= -2 sin(5x) sin(2x)

Untuk penyebut, gunakan identitas 1 - cos(2θ) = 2 sin^2(θ), sehingga cos(θ) = 1 - 2 sin^2(θ/2).
4 cos 6x - 4 = 4(cos 6x - 1)
= 4 * (- (1 - cos 6x))
= -4 * (1 - cos 6x)
= -4 * (2 sin^2(6x/2))
= -8 sin^2(3x)

Jadi limitnya menjadi:
lim [-2 sin(5x) sin(2x)] / [-8 sin^2(3x)] saat x mendekati 0
= lim [sin(5x) sin(2x)] / [4 sin^2(3x)] saat x mendekati 0

Kita tahu bahwa lim (sin ax)/(ax) = 1. Maka:
= lim [(5x) (2x)] / [4 (3x)^2] saat x mendekati 0 (menggunakan pendekatan sin x ≈ x untuk x kecil)
= lim [10x^2] / [4 * 9x^2]
= lim [10x^2] / [36x^2]
= 10/36
= 5/18