Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11mathAljabar Linear

Diketahui matriks A=(2 4 6 8) dan A^T adalah transpos dari

Pertanyaan

Diketahui matriks A=(2 4 6 8) dan A^T adalah transpos dari matriks A. Matriks X yang memenuhi persamaan AX=A^T A adalah....

Solusi

Verified

Matriks X = [-12 -16; 16 22] jika A dianggap matriks 2x2.

Pembahasan

Untuk mencari matriks X yang memenuhi persamaan AX = A^T A, kita perlu melakukan beberapa langkah. Pertama, tentukan matriks A dan transposnya, A^T. Matriks A = [2 4 6 8]. Karena ini adalah matriks baris, kita bisa menganggapnya sebagai matriks 1x4. Matriks A^T adalah transpos dari A, sehingga menjadi matriks kolom: A^T = [2] [4] [6] [8] Selanjutnya, hitung A^T A: A^T A = [2] [4] [6] [8] x [2 4 6 8] A^T A = [2*2 2*4 2*6 2*8] [4*2 4*4 4*6 4*8] [6*2 6*4 6*6 6*8] [8*2 8*4 8*6 8*8] A^T A = [ 4 8 12 16] [ 8 16 24 32] [12 24 36 48] [16 32 48 64] Sekarang, kita memiliki persamaan AX = A^T A. Agar perkalian matriks ini valid, dimensi X harus sesuai. Jika A adalah 1x4, dan A^T A adalah 4x4, maka X harus berdimensi 4x4. Namun, jika kita menginterpretasikan A sebagai matriks 2x2: A = [2 4] [6 8] Maka A^T adalah: A^T = [2 6] [4 8] Hitung A^T A: A^T A = [2 6] [4 8] x [2 4] [6 8] A^T A = [2*2+6*6 2*4+6*8] [4*2+8*6 4*4+8*8] A^T A = [4+36 8+48] [8+48 16+64] A^T A = [40 56] [56 80] Sekarang persamaan AX = A^T A menjadi: [2 4] [6 8] x X = [40 56] [56 80] Agar AX = A^T A, X harus berdimensi 2x2. Misalkan X = [a b] [c d] [2 4] [6 8] x [a b] [c d] = [2a+4c 2b+4d] [6a+8c 6b+8d] Samakan dengan A^T A: 2a + 4c = 40 => a + 2c = 20 (Persamaan 1) 6a + 8c = 56 => 3a + 4c = 28 (Persamaan 2) 2b + 4d = 56 => b + 2d = 28 (Persamaan 3) 6b + 8d = 80 => 3b + 4d = 40 (Persamaan 4) Selesaikan sistem persamaan untuk a dan c: Dari Persamaan 1, a = 20 - 2c. Substitusikan ke Persamaan 2: 3(20 - 2c) + 4c = 28 60 - 6c + 4c = 28 60 - 2c = 28 2c = 60 - 28 2c = 32 c = 16 Substitusikan c = 16 ke a = 20 - 2c: a = 20 - 2(16) a = 20 - 32 a = -12 Selesaikan sistem persamaan untuk b dan d: Dari Persamaan 3, b = 28 - 2d. Substitusikan ke Persamaan 4: 3(28 - 2d) + 4d = 40 84 - 6d + 4d = 40 84 - 2d = 40 2d = 84 - 40 2d = 44 d = 22 Substitusikan d = 22 ke b = 28 - 2d: b = 28 - 2(22) b = 28 - 44 b = -16 Maka, matriks X adalah: X = [-12 -16] [ 16 22] Jika matriks A=(2 4 6 8) diinterpretasikan sebagai matriks baris tunggal, maka persamaan AX = A^T A tidak dapat diselesaikan dengan cara matriks standar karena dimensi tidak sesuai untuk menghasilkan matriks 4x4 di sisi kanan.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Matriks
Section: Sistem Persamaan Linear, Operasi Matriks

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...