Diketahui matriks A=(2 4 6 8) dan A^T adalah transpos dari

Matriks X = [-12 -16; 16 22] jika A dianggap matriks 2x2.

Pembahasan

Untuk mencari matriks X yang memenuhi persamaan AX = A^T A, kita perlu melakukan beberapa langkah. Pertama, tentukan matriks A dan transposnya, A^T.
Matriks A = [2 4 6 8]. Karena ini adalah matriks baris, kita bisa menganggapnya sebagai matriks 1x4.
Matriks A^T adalah transpos dari A, sehingga menjadi matriks kolom:
A^T = 
[2]
[4]
[6]
[8]

Selanjutnya, hitung A^T A:
A^T A = 
[2]
[4]
[6]
[8]
 x [2 4 6 8]

A^T A = [2*2  2*4  2*6  2*8]
        [4*2  4*4  4*6  4*8]
        [6*2  6*4  6*6  6*8]
        [8*2  8*4  8*6  8*8]

A^T A = [ 4  8 12 16]
        [ 8 16 24 32]
        [12 24 36 48]
        [16 32 48 64]

Sekarang, kita memiliki persamaan AX = A^T A. Agar perkalian matriks ini valid, dimensi X harus sesuai. Jika A adalah 1x4, dan A^T A adalah 4x4, maka X harus berdimensi 4x4.

Namun, jika kita menginterpretasikan A sebagai matriks 2x2:
A = 
[2 4]
[6 8]

Maka A^T adalah:
A^T = 
[2 6]
[4 8]

Hitung A^T A:
A^T A = 
[2 6]
[4 8]
 x 
[2 4]
[6 8]

A^T A = [2*2+6*6  2*4+6*8]
        [4*2+8*6  4*4+8*8]

A^T A = [4+36  8+48]
        [8+48 16+64]

A^T A = [40 56]
        [56 80]

Sekarang persamaan AX = A^T A menjadi:

[2 4]
[6 8]
 x X = 
[40 56]
[56 80]

Agar AX = A^T A, X harus berdimensi 2x2. Misalkan X = 
[a b]
[c d]

[2 4]
[6 8]
 x 
[a b]
[c d]
 = 
[2a+4c  2b+4d]
[6a+8c  6b+8d]

Samakan dengan A^T A:
2a + 4c = 40  => a + 2c = 20  (Persamaan 1)
6a + 8c = 56  => 3a + 4c = 28  (Persamaan 2)

2b + 4d = 56  => b + 2d = 28  (Persamaan 3)
6b + 8d = 80  => 3b + 4d = 40  (Persamaan 4)

Selesaikan sistem persamaan untuk a dan c:
Dari Persamaan 1, a = 20 - 2c.
Substitusikan ke Persamaan 2:
3(20 - 2c) + 4c = 28
60 - 6c + 4c = 28
60 - 2c = 28
2c = 60 - 28
2c = 32
c = 16

Substitusikan c = 16 ke a = 20 - 2c:
a = 20 - 2(16)
a = 20 - 32
a = -12

Selesaikan sistem persamaan untuk b dan d:
Dari Persamaan 3, b = 28 - 2d.
Substitusikan ke Persamaan 4:
3(28 - 2d) + 4d = 40
84 - 6d + 4d = 40
84 - 2d = 40
2d = 84 - 40
2d = 44
d = 22

Substitusikan d = 22 ke b = 28 - 2d:
b = 28 - 2(22)
b = 28 - 44
b = -16

Maka, matriks X adalah:
X = 
[-12  -16]
[ 16   22]

Jika matriks A=(2 4 6 8) diinterpretasikan sebagai matriks baris tunggal, maka persamaan AX = A^T A tidak dapat diselesaikan dengan cara matriks standar karena dimensi tidak sesuai untuk menghasilkan matriks 4x4 di sisi kanan.