Diketahui matriks A=(3 2 0 5) dan B=(-3 -1 -17 0). Jika A^T

$-1$.

Pembahasan

Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -17 & 0 \end{pmatrix}$.
Kita perlu mencari determinan matriks $X$ jika $A^T X = B + A^T$, di mana $A^T$ adalah transpos matriks $A$.

Langkah 1: Cari $A^T$.
Transpos matriks $A$ didapatkan dengan menukar baris menjadi kolom dan sebaliknya.
$A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$.

Langkah 2: Hitung $B + A^T$.
$B + A^T = \begin{pmatrix} -3 & -1 \\ -17 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3+3 & -1+0 \\ -17+2 & 0+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -15 & 5 \end{pmatrix}$.

Langkah 3: Selesaikan persamaan matriks $A^T X = B + A^T$ untuk $X$.
Kita punya $A^T X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -15 & 5 \end{pmatrix}$.
Untuk mencari $X$, kita perlu mengalikan kedua sisi dengan invers dari $A^T$, yaitu $(A^T)^{-1}$.
$X = (A^T)^{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -15 & 5 \end{pmatrix}$.

Langkah 4: Cari invers dari $A^T$, yaitu $(A^T)^{-1}$.
Untuk matriks $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, inversnya adalah $M^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Untuk $A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$, determinannya adalah $det(A^T) = (3)(5) - (0)(2) = 15 - 0 = 15$.

Maka, $(A^T)^{-1} = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$.

Langkah 5: Hitung $X = (A^T)^{-1} (B + A^T)$.
$X = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -15 & 5 \end{pmatrix}$
$X = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} (5)(0)+(0)(-15) & (5)(-1)+(0)(5) \\ (-2)(0)+(3)(-15) & (-2)(-1)+(3)(5) \end{pmatrix}$
$X = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 0+0 & -5+0 \\ 0-45 & 2+15 \end{pmatrix}$
$X = \frac{1}{15} \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ -45 & 17 \end{pmatrix}$
$X = \begin{pmatrix} 0/15 & -5/15 \\ -45/15 & 17/15 \end{pmatrix}$
$X = \begin{pmatrix} 0 & -1/3 \\ -3 & 17/15 \end{pmatrix}$.

Langkah 6: Hitung determinan matriks $X$.
$det(X) = (0)(\frac{17}{15}) - (-\frac{1}{3})(-3)$
$det(X) = 0 - (1)$
$det(X) = -1$.

Alternatif menggunakan sifat determinan:
$det(A^T X) = det(B+A^T)$
$det(A^T) det(X) = det(B+A^T)$
Kita sudah hitung $det(A^T) = 15$.
Kita hitung $det(B+A^T) = det(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -15 & 5 \end{pmatrix}) = (0)(5) - (-1)(-15) = 0 - 15 = -15$.

Jadi, $15 \times det(X) = -15$.
$det(X) = \frac{-15}{15}$
$det(X) = -1$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.