Diketahui matriks transformasi A=[1 3 2 4]. Tentukan

-18x + 11y = 20

Pembahasan

Diketahui matriks transformasi A=[1 3; 2 4]. Kita perlu mencari bayangan garis 2x - 5y = 10 akibat transformasi oleh matriks A. Misalkan titik (x, y) adalah titik pada garis asli, dan (x', y') adalah bayangannya setelah transformasi. Hubungan antara titik asli dan bayangannya diberikan oleh:
[x'; y'] = A * [x; y]
[x'; y'] = [1 3; 2 4] * [x; y]

Maka, kita dapatkan sistem persamaan:
x' = 1*x + 3*y  => x' = x + 3y  (Persamaan 1)
y' = 2*x + 4*y  => y' = 2x + 4y  (Persamaan 2)

Kita perlu mengekspresikan x dan y dalam bentuk x' dan y' untuk disubstitusikan ke dalam persamaan garis asli. Dari Persamaan 1, kita bisa dapatkan x = x' - 3y. Substitusikan ini ke Persamaan 2:
y' = 2*(x' - 3y) + 4y
y' = 2x' - 6y + 4y
y' = 2x' - 2y
Sekarang kita selesaikan untuk y:
2y = 2x' - y'
y = x' - y'/2

Sekarang substitusikan kembali y ke dalam persamaan untuk x:
x = x' - 3*(x' - y'/2)
x = x' - 3x' + 3y'/2
x = -2x' + 3y'/2

Sekarang kita substitusikan nilai x dan y yang baru ini ke dalam persamaan garis asli 2x - 5y = 10:
2*(-2x' + 3y'/2) - 5*(x' - y'/2) = 10
-4x' + 3y' - 5x' + 5y'/2 = 10

Gabungkan suku-suku x':
-4x' - 5x' = -9x'

Gabungkan suku-suku y':
3y' + 5y'/2 = 6y'/2 + 5y'/2 = 11y'/2

Jadi, persamaan bayangan menjadi:
-9x' + 11y'/2 = 10

Untuk menghilangkan pecahan, kalikan seluruh persamaan dengan 2:
2*(-9x') + 2*(11y'/2) = 2*10
-18x' + 11y' = 20

Jadi, bayangan garis 2x - 5y = 10 akibat transformasi oleh matriks A adalah -18x + 11y = 20.