Diketahui P(n)=9^2n -1, habis dibagi 10 untuk n bilangan

Jika P(n) berlaku untuk n=k+1, P(n) dapat ditulis sebagai 10(81m + 8), di mana 9^(2k) - 1 = 10m.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa P(n)=9^2n -1 habis dibagi 10 untuk n bilangan asli menggunakan induksi matematika, kita perlu menunjukkan dua langkah:
1. Basis Induksi: Tunjukkan bahwa P(1) benar.
P(1) = 9^(2*1) - 1 = 9^2 - 1 = 81 - 1 = 80. Karena 80 habis dibagi 10, maka P(1) benar.
2. Langkah Induksi: Asumsikan bahwa P(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu 9^(2k) - 1 habis dibagi 10. Ini berarti 9^(2k) - 1 = 10m untuk suatu bilangan bulat m.
   Kemudian, tunjukkan bahwa P(k+1) juga benar, yaitu 9^(2(k+1)) - 1 habis dibagi 10.
P(k+1) = 9^(2(k+1)) - 1
         = 9^(2k+2) - 1
         = 9^(2k) * 9^2 - 1
         = 9^(2k) * 81 - 1
Kita tahu bahwa 9^(2k) = 10m + 1 dari asumsi P(k).
Jadi, P(k+1) = (10m + 1) * 81 - 1
            = 810m + 81 - 1
            = 810m + 80
            = 10(81m + 8)
Karena P(k+1) dapat ditulis sebagai 10 dikalikan dengan suatu bilangan bulat (81m + 8), maka P(k+1) habis dibagi 10.

Jadi, jika P(n) berlaku untuk n=k+1, P(n) dapat ditulis sebagai 10(81m + 8) di mana m adalah bilangan bulat yang memenuhi 9^(2k) - 1 = 10m.