Diketahui persamaan kuadrat x^2+2x-1=0 memiliki akar-akar

6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat akar-akar persamaan kuadrat. Diketahui persamaan kuadrat $x^2+2x-1=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Berdasarkan rumus Vieta, kita tahu bahwa:

Jumlah akar-akar: $x_1 + x_2 = -b/a = -2/1 = -2$

Perkalian akar-akar: $x_1 	imes x_2 = c/a = -1/1 = -1$

Kita ingin mencari nilai dari $1/x_1^2 + 1/x_2^2$. Pertama, samakan penyebutnya:

$1/x_1^2 + 1/x_2^2 = (x_2^2 + x_1^2) / (x_1^2 	imes x_2^2)$

Selanjutnya, kita perlu mencari nilai dari $x_1^2 + x_2^2$. Kita bisa menggunakan identitas $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$, sehingga $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Substitusikan nilai yang sudah kita ketahui:

$x_1^2 + x_2^2 = (-2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$

Sekarang, kita juga perlu nilai dari $(x_1 	imes x_2)^2$: 

$(x_1 	imes x_2)^2 = (-1)^2 = 1$

Akhirnya, substitusikan nilai-nilai ini ke dalam ekspresi awal:

$1/x_1^2 + 1/x_2^2 = (x_1^2 + x_2^2) / (x_1 	imes x_2)^2 = 6 / 1 = 6$

Jadi, nilai dari $1/x_1^2 + 1/x_2^2$ adalah 6.