Diketahui plogq=4, rlogq=4, dan p, q, r merupakan bilangan

$2\sqrt{10}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi menggunakan sifat-sifat logaritma.

Diketahui:
1. $\log_p q = 4$
2. $\log_r q = 4$

Dari sifat logaritma, kita tahu bahwa $\log_a b = 1 / \log_b a$. Jadi, kita bisa menulis ulang informasi yang diberikan sebagai:
1. $\frac{1}{\log_q p} = 4 \implies \log_q p = \frac{1}{4}$
2. $\frac{1}{\log_q r} = 4 \implies \log_q r = \frac{1}{4}$

Kita ingin mencari nilai dari $[\\log_p (qr)^8]^{1/2}$.

Langkah 1: Gunakan sifat logaritma $\log_a (bc) = \log_a b + \log_a c$ dan $\log_a b^c = c \log_a b$.
$$ \log_p (qr)^8 = 8 \log_p (qr) = 8 (\log_p q + \log_p r) $$ 

Langkah 2: Ubah basis logaritma ke basis q agar kita bisa menggunakan informasi yang diberikan.
$$ \log_p q = \frac{\log_q q}{\log_q p} = \frac{1}{\log_q p} $$
Ini sudah diberikan dalam soal awal.

Langkah 3: Gunakan nilai yang diketahui.
Kita memiliki $\log_p q = 4$. Untuk $\log_p r$, kita perlu mengubahnya.
Dari $\log_r q = 4$, kita dapatkan $\log_q r = 1/4$. Sekarang kita ubah ke basis p:
$$ \log_p r = \frac{\log_q r}{\log_q p} = \frac{1/4}{1/4} = 1 $$ 

Langkah 4: Substitusikan nilai $\log_p q$ dan $\log_p r$ ke dalam ekspresi.
$$ 8 (\log_p q + \log_p r) = 8 (4 + 1) = 8(5) = 40 $$ 

Langkah 5: Hitung nilai akhir.
$$ [\log_p (qr)^8]^{1/2} = [40]^{1/2} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10} $$ 

Jadi, nilai dari $[\\log_p (qr)^8]^{1/2}$ adalah $2\sqrt{10}$.