Diketahui rumus jumlah suku ke-n suatu barisan aritmetika

$4n^2 - n$

Pembahasan

Diketahui rumus jumlah suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah $S_n = 2n^2 + n$.
Untuk mencari nilai $U_1 + U_3 + U_5 + ... + U_{2n-1}$, kita perlu mencari rumus suku ke-n ($U_n$) terlebih dahulu.
Rumus $U_n$ dapat ditemukan dengan mengurangkan $S_n$ dengan $S_{n-1}$:
$U_n = S_n - S_{n-1}$
$U_n = (2n^2 + n) - (2(n-1)^2 + (n-1))$
$U_n = (2n^2 + n) - (2(n^2 - 2n + 1) + n - 1)$
$U_n = (2n^2 + n) - (2n^2 - 4n + 2 + n - 1)$
$U_n = (2n^2 + n) - (2n^2 - 3n + 1)$
$U_n = 2n^2 + n - 2n^2 + 3n - 1$
$U_n = 4n - 1$

Sekarang kita perlu mencari jumlah dari suku-suku ganjil: $U_1, U_3, U_5, ..., U_{2n-1}$.
Suku-suku ini membentuk barisan aritmetika baru.
Suku pertama dari barisan baru ini adalah $U_1 = 4(1) - 1 = 3$.
Suku ke-n dari barisan baru ini adalah $U_{2n-1} = 4(2n-1) - 1 = 8n - 4 - 1 = 8n - 5$.
Jumlah suku ganjil ini adalah jumlah dari n suku pertama dari barisan aritmetika baru.
Jumlah suku barisan aritmetika baru: $S'_{n} = n/2 * (suku pertama + suku terakhir)$
$S'_{n} = n/2 * (U_1 + U_{2n-1})$
$S'_{n} = n/2 * (3 + (8n - 5))$
$S'_{n} = n/2 * (8n - 2)$
$S'_{n} = n * (4n - 1)$
$S'_{n} = 4n^2 - n$.

Jawaban Ringkas: $4n^2 - n$