Untuk menambah penghasilan keluarga, seorang ibu berjualan

Rp9.000,00

Pembahasan

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
x = jumlah roti jenis I
y = jumlah roti jenis II

Variabel keputusan:
Jumlah roti jenis I (x) dan jumlah roti jenis II (y).

Fungsi tujuan (memaksimalkan keuntungan):
Keuntungan = 100x + 50y

Kendala:
1. Kapasitas keranjang: Jumlah roti tidak boleh melebihi 100 buah.
   $x + y \leq 100$

2. Modal: Total modal yang dikeluarkan tidak boleh melebihi Rp45.000,00.
Harga beli roti jenis I = Rp500,00
Harga beli roti jenis II = Rp300,00
   $500x + 300y \leq 45000$
   Disederhanakan menjadi: $5x + 3y \leq 450$ (dibagi 100)

3. Non-negatif:
   $x \geq 0$
   $y \geq 0$

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala tersebut dan memaksimalkan fungsi keuntungan.

Titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala:
Kita cari titik potong dari garis-garis kendala:

a) Titik potong $x+y=100$ dan $5x+3y=450$
   Dari $x+y=100$, maka $y = 100-x$.
   Substitusikan ke persamaan kedua:
   $5x + 3(100-x) = 450$
   $5x + 300 - 3x = 450$
   $2x = 150$
   $x = 75$
   Jika $x=75$, maka $y = 100 - 75 = 25$.
   Titik potong: (75, 25)

b) Titik potong $x+y=100$ dengan sumbu x (y=0):
   $x + 0 = 100 \implies x = 100$
   Titik: (100, 0)

c) Titik potong $x+y=100$ dengan sumbu y (x=0):
   $0 + y = 100 \implies y = 100$
   Titik: (0, 100)

d) Titik potong $5x+3y=450$ dengan sumbu x (y=0):
   $5x + 3(0) = 450 \implies 5x = 450 \implies x = 90$
   Titik: (90, 0)

e) Titik potong $5x+3y=450$ dengan sumbu y (x=0):
   $5(0) + 3y = 450 \implies 3y = 450 \implies y = 150$
   Titik: (0, 150)

Titik-titik pojok yang relevan (memenuhi semua kendala $x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 100, 5x+3y \leq 450$):
1. (0, 0) -> Keuntungan = 0
2. (90, 0) -> $x+y = 90+0 = 90 \leq 100$. Keuntungan = $100(90) + 50(0) = 9000$.
3. (0, 100) -> $5x+3y = 5(0)+3(100) = 300 \leq 450$. Keuntungan = $100(0) + 50(100) = 5000$.
4. (75, 25) -> $x+y = 75+25 = 100 \leq 100$. $5x+3y = 5(75)+3(25) = 375 + 75 = 450 \leq 450$. Keuntungan = $100(75) + 50(25) = 7500 + 1250 = 8750$.

Perlu dicek titik potong lain yang mungkin menjadi pojok:
Titik potong sumbu y dengan $5x+3y=450$ adalah (0, 150). Tapi ini tidak memenuhi $x+y \leq 100$ karena $0+150 = 150 > 100$.
Titik potong sumbu x dengan $x+y=100$ adalah (100, 0). Tapi ini tidak memenuhi $5x+3y \leq 450$ karena $5(100)+3(0) = 500 > 450$.

Jadi titik-titik pojok yang valid adalah (0,0), (90,0), (0,100), dan (75,25).
Evaluasi fungsi keuntungan pada titik-titik pojok:
- f(0,0) = 0
- f(90,0) = 100(90) + 50(0) = 9000
- f(0,100) = 100(0) + 50(100) = 5000
- f(75,25) = 100(75) + 50(25) = 7500 + 1250 = 8750

Keuntungan maksimal yang diterima adalah Rp9.000,00, yang diperoleh jika ibu menjual 90 roti jenis I dan 0 roti jenis II.

Namun, perlu diperiksa kembali perhitungan titik potong dan kendala.

Titik Potong:
1. $x+y=100$ dan $5x+3y=450 
ightarrow (75, 25)$. Keuntungan: $100(75) + 50(25) = 7500 + 1250 = 8750$.
2. Sumbu x ($y=0$) dan $5x+3y=450 
ightarrow 5x=450 
ightarrow x=90$. Titik (90, 0). Keuntungan: $100(90) + 50(0) = 9000$.
3. Sumbu y ($x=0$) dan $x+y=100 
ightarrow y=100$. Titik (0, 100). Keuntungan: $100(0) + 50(100) = 5000$.

Kendala yang perlu dipenuhi:
$x \geq 0, y \geq 0$
$x+y \leq 100$
$5x+3y \leq 450$

Mari kita cek titik (90,0):
$x+y = 90+0 = 90 \leq 100$ (Terpenuhi)
$5x+3y = 5(90)+3(0) = 450 \leq 450$ (Terpenuhi)
Keuntungan = 9000

Mari kita cek titik (75,25):
$x+y = 75+25 = 100 \leq 100$ (Terpenuhi)
$5x+3y = 5(75)+3(25) = 375+75 = 450 \leq 450$ (Terpenuhi)
Keuntungan = 8750

Mari kita cek titik (0,100):
$x+y = 0+100 = 100 \leq 100$ (Terpenuhi)
$5x+3y = 5(0)+3(100) = 300 \leq 450$ (Terpenuhi)
Keuntungan = 5000

Jika ibu menjual 90 roti jenis I dan 0 roti jenis II, modal yang dikeluarkan adalah $500(90) + 300(0) = 45000$. Kapasitas keranjang adalah 90 buah, kurang dari 100. Keuntungan adalah Rp9.000,00.

Jika ibu menjual 75 roti jenis I dan 25 roti jenis II, modal yang dikeluarkan adalah $500(75) + 300(25) = 37500 + 7500 = 45000$. Kapasitas keranjang adalah 100 buah. Keuntungan adalah Rp8.750,00.

Jadi, keuntungan maksimal adalah Rp9.000,00.

Jawaban Ringkas: Rp9.000,00