Diketahui segitiga ABC dengan A(0,0,0), B(2,2,0), dan

Proyeksi ortogonal AB pada AC adalah akar(2).

Pembahasan

Untuk mencari proyeksi ortogonal vektor AB pada vektor AC, kita gunakan rumus proyeksi skalar:
Proyeksi AB pada AC = (AB · AC) / |AC|

Pertama, kita tentukan vektor AB dan AC:
Titik A = (0,0,0)
Titik B = (2,2,0)
Titik C = (0,2,2)

Vektor AB = B - A = (2-0, 2-0, 0-0) = (2, 2, 0)
Vektor AC = C - A = (0-0, 2-0, 2-0) = (0, 2, 2)

Selanjutnya, kita hitung hasil kali titik (dot product) AB · AC:
AB · AC = (2 * 0) + (2 * 2) + (0 * 2) = 0 + 4 + 0 = 4

Kemudian, kita hitung panjang (magnitude) vektor AC:
|AC| = sqrt(0^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(0 + 4 + 4) = sqrt(8)

Terakhir, kita hitung proyeksi ortogonal AB pada AC:
Proyeksi AB pada AC = (AB · AC) / |AC| = 4 / sqrt(8)

Kita bisa menyederhanakan sqrt(8) menjadi 2*sqrt(2):
Proyeksi AB pada AC = 4 / (2*sqrt(2)) = 2 / sqrt(2)

Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(2):
Proyeksi AB pada AC = (2 * sqrt(2)) / (sqrt(2) * sqrt(2)) = (2 * sqrt(2)) / 2 = sqrt(2)

Jadi, proyeksi ortogonal AB pada AC adalah sqrt(2).