Diketahui segitiga ABC dengan A(2,1,2), B(4,-1,3), dan

1

Pembahasan

Diketahui titik-titik segitiga ABC: A(2,1,2), B(4,-1,3), dan C(2,7,11).

1. Cari titik D pada pertengahan BC:
Koordinat D adalah rata-rata koordinat B dan C.
$D = (\frac{4+2}{2}, \frac{-1+7}{2}, \frac{3+11}{2}) = (\frac{6}{2}, \frac{6}{2}, \frac{14}{2}) = (3, 3, 7)$

2. Cari vektor AB:
$\vec{AB} = B - A = (4-2, -1-1, 3-2) = (2, -2, 1)$

3. Cari vektor DE:
$\vec{DE} = E - D$. Karena E pada AB, maka $\vec{AE} = k \vec{AB}$ untuk suatu skalar k. Sehingga E = A + k(B-A).
Kita tidak tahu koordinat E secara langsung, tapi kita tahu DE tegak lurus AB. Artinya, hasil kali titik $\vec{DE} \cdot \vec{AB} = 0$.

E terletak pada AB, sehingga E dapat ditulis sebagai kombinasi linear A dan B. Misalkan E membagi AB dengan perbandingan m:n, maka $\vec{AE} = \frac{m}{m+n} \vec{AB}$. Kita perlu mencari nilai m dan n atau rasio AE/AB.

Karena DE tegak lurus AB, maka proyeksi vektor DE pada vektor AB adalah nol. Ini berarti E adalah titik pada garis AB sehingga proyeksi vektor AD pada AB sama dengan panjang AE. Lebih tepatnya, E adalah titik pada AB sehingga AE adalah proyeksi vektor AD pada AB.

Hitung vektor AD:
$\vec{AD} = D - A = (3-2, 3-1, 7-2) = (1, 2, 5)$

Panjang AE adalah proyeksi skalar vektor AD pada vektor AB.
Panjang $AE = \frac{\vec{AD} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|}$

Hitung hasil kali titik $\vec{AD} \cdot \vec{AB}$:
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (1)(2) + (2)(-2) + (5)(1) = 2 - 4 + 5 = 3$

Hitung panjang vektor AB:
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

Panjang $AE = \frac{3}{3} = 1$