Diketahui segitiga OPQ dengan P(-2,2,4), Q(-4,-2,2), dan O

60 derajat

Pembahasan

Untuk mencari besar sudut OPQ, kita akan menggunakan konsep vektor. Pertama, kita tentukan vektor \(\vec{PO}\) dan \(\vec{PQ}\).

Titik O adalah titik pangkal koordinat, sehingga \(O = (0,0,0)\).
Titik P adalah \((-2,2,4)\).
Titik Q adalah \((-4,-2,2)\).

Vektor \(\vec{PO} = O - P = (0 - (-2), 0 - 2, 0 - 4) = (2, -2, -4)\).
Vektor \(\vec{PQ} = Q - P = (-4 - (-2), -2 - 2, 2 - 4) = (-2, -4, -2)\).

Besar sudut OPQ adalah sudut antara vektor \(\vec{PO}\) dan \(\vec{PQ}\). Kita dapat menggunakan rumus dot product:
\(\vec{PO} \cdot \vec{PQ} = |\vec{PO}| |\vec{PQ}| \cos(\theta)\)

Hitung dot product \(\vec{PO} \cdot \vec{PQ}\):
\((2)(-2) + (-2)(-4) + (-4)(-2) = -4 + 8 + 8 = 12\)

Hitung panjang vektor \(\vec{PO}\):
\(|\vec{PO}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24}\)

Hitung panjang vektor \(\vec{PQ}\):
\(|\vec{PQ}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24}\)

Sekarang, kita masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus dot product:
\(12 = \sqrt{24} \sqrt{24} \cos(\theta)\)
\(12 = 24 \cos(\theta)\)
\(\cos(\theta) = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\)

Mencari nilai \(\theta\) ketika \(\cos(\theta) = \frac{1}{2}\), kita dapatkan \(\theta = 60^\circ\).

Jadi, besar sudut OPQ adalah 60 derajat.