Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat sebagai

Jangkauan terbesar yang mungkin adalah 13.

Pembahasan

Untuk menentukan jangkauan terbesar yang mungkin dari data tersebut, kita perlu menyusun data berdasarkan sifat-sifat yang diberikan.

Diketahui:
1. Terdiri atas 5 data bilangan bulat positif.
2. Rata-rata = 7
3. Median = 9
4. Modus = 9

Dari sifat (ii) dan (iii), kita tahu bahwa median dan modus adalah 9. Ini berarti bilangan 9 muncul paling sering dalam data dan merupakan nilai tengah ketika data diurutkan.
Karena ada 5 data dan mediannya adalah 9, maka data ke-3 (nilai tengah) setelah diurutkan adalah 9.
Karena modus juga 9, maka bilangan 9 harus muncul lebih dari satu kali. Paling tidak, 9 muncul dua kali.

Mari kita susun data yang mungkin:
Data diurutkan: a, b, 9, d, e

Karena modus adalah 9, maka 9 harus muncul setidaknya dua kali. Kita bisa letakkan 9 di posisi ke-2 dan ke-3, atau ke-3 dan ke-4. Agar jangkauan (selisih terbesar - terkecil) maksimal, kita perlu membuat data terbesar semaksimal mungkin dan data terkecil sekecil mungkin.

Kita tahu rata-rata = 7, jadi jumlah kelima data adalah 5 * 7 = 35.

Kemungkinan 1: 9 muncul dua kali di posisi median.
Data: a, 9, 9, d, e
Karena median adalah 9, maka a <= 9 dan d >= 9. Agar jangkauan maksimal, kita buat 'a' sekecil mungkin (bilangan bulat positif terkecil adalah 1) dan 'e' sebesar mungkin.
Data: 1, 9, 9, d, e
Jumlah = 1 + 9 + 9 + d + e = 35
19 + d + e = 35
d + e = 16

Agar 'e' maksimal, 'd' harus minimal. Kita tahu d >= 9. Maka, jika d = 9, e = 7. Tapi ini tidak mungkin karena data harus urut (d <= e). Jika d = 9, maka e = 7, tidak urut. Jika d = 8, e = 8. Tidak urut.
Agar urut (d >= 9) dan e maksimal, kita pilih d = 9. Maka e = 16 - 9 = 7. Ini juga tidak urut (9, 9, 9, 7, 16). Jadi ini salah.

Mari kita cek kembali: Data diurutkan: a, b, 9, d, e. Median = 9. Modus = 9.

Agar jangkauan maksimal, kita buat a = 1 (bilangan bulat positif terkecil).
Agar modus = 9, maka 9 harus muncul minimal 2 kali. Agar median = 9, data ke-3 adalah 9.

Kemungkinan Susunan Data untuk Jangkauan Maksimal:

Kasus 1: 9 muncul 3 kali (sebagai modus dan median).
Data: 1, x, 9, 9, 9
Jumlah = 1 + x + 9 + 9 + 9 = 35
28 + x = 35
x = 7

Data terurut: 1, 7, 9, 9, 9. Sesuai sifat: 5 data bulat positif, rata-rata (1+7+9+9+9)/5 = 35/5 = 7, median = 9, modus = 9.
Jangkauan = 9 - 1 = 8.

Kasus 2: 9 muncul 2 kali.
Agar median 9, data ke-3 adalah 9.
Agar modus 9, setidaknya ada satu 9 lagi. Agar jangkauan maksimal, kita buat data terkecil = 1.

Subkasus 2a: 9 di posisi ke-2 dan ke-3.
Data: 1, 9, 9, d, e
Jumlah: 1 + 9 + 9 + d + e = 35
19 + d + e = 35
d + e = 16
Kita perlu urut: 1 <= 9 <= 9 <= d <= e.
Agar 'e' maksimal, 'd' harus minimal. d harus >= 9. Jika d=9, maka e=7 (tidak urut).
Jika kita buat d=9, maka e = 16-9 = 7. Data: 1, 9, 9, 9, 7. Tidak urut.
Jika kita buat d=8, maka e = 16-8 = 8. Data: 1, 9, 9, 8, 8. Tidak urut.

Subkasus 2b: 9 di posisi ke-3 dan ke-4.
Data: a, b, 9, 9, e
Kita perlu urut: a <= b <= 9 <= 9 <= e.
Agar jangkauan maksimal, a=1.
Data: 1, b, 9, 9, e
Jumlah: 1 + b + 9 + 9 + e = 35
19 + b + e = 35
b + e = 16

Kita perlu urut: 1 <= b <= 9 dan 9 <= e.
Agar 'e' maksimal, 'b' harus minimal. b harus >= 1 (bilangan bulat positif).
Jika b = 1, maka e = 15. Data: 1, 1, 9, 9, 15. Urut: ya. Sifat: 5 data bulat positif, rata-rata (1+1+9+9+15)/5 = 35/5 = 7, median = 9, modus = 9. Jangkauan = 15 - 1 = 14.

Jika b = 2, maka e = 14. Data: 1, 2, 9, 9, 14. Urut: ya. Sifat: 5 data bulat positif, rata-rata (1+2+9+9+14)/5 = 35/5 = 7, median = 9, modus = 9. Jangkauan = 14 - 1 = 13.

Jika b = 7, maka e = 9. Data: 1, 7, 9, 9, 9. Ini sama dengan Kasus 1. Jangkauan = 9 - 1 = 8.

Jika b = 8, maka e = 8. Data: 1, 8, 9, 9, 8. Tidak urut.

Subkasus 2c: 9 di posisi ke-3 dan ke-5.
Data: a, b, 9, d, 9
Ini tidak mungkin karena data harus urut, dan 9 di posisi ke-5 akan membuat 9 ada di akhir, dan 9 di posisi ke-3 menjadi tidak urut jika d > 9.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain agar jangkauan maksimal.
Data: a, b, 9, d, e
Jumlah = 35.
a = 1.
Median = 9 (data ke-3).
Modus = 9.

Agar jangkauan maksimal, kita buat 'e' sebesar mungkin dan 'a' sekecil mungkin.
Kita sudah punya a = 1. Data: 1, b, 9, d, e.
Jumlah = 1 + b + 9 + d + e = 35 => b + d + e = 25.
Kita perlu urut: 1 <= b <= 9 <= d <= e.
Agar 'e' maksimal, 'b' dan 'd' harus minimal.
Minimal b = 1. Data: 1, 1, 9, d, e.
Jumlah = 1 + 1 + 9 + d + e = 35 => 11 + d + e = 35 => d + e = 24.
Kita perlu urut: 1 <= 1 <= 9 <= d <= e.
Minimal d = 9 (karena data ke-4 harus >= median).
Jika d = 9, maka e = 24 - 9 = 15.
Data: 1, 1, 9, 9, 15.
Cek sifat:
- 5 data bulat positif: Ya.
- Rata-rata = (1+1+9+9+15)/5 = 35/5 = 7: Ya.
- Median = 9: Ya.
- Modus = 9 (karena 9 muncul 2 kali, angka lain muncul 1 atau 2 kali. Jika ada angka lain yang muncul 2 kali, maka modusnya tidak tunggal. Agar modus tunggal 9, kita perlu memastikan 1 hanya muncul sekali).

Jika kita membuat '1' muncul dua kali, maka modusnya bisa 1 atau 9. Agar modus dipastikan 9, maka '1' harus muncul hanya sekali atau kurang dari frekuensi '9'.

Dalam kasus: 1, 1, 9, 9, 15
Frekuensi: 1 (2 kali), 9 (2 kali), 15 (1 kali). Modusnya adalah 1 dan 9 (bimodal). Ini melanggar syarat modus = 9 (tunggal).

Kita harus memastikan 9 muncul lebih sering daripada angka lainnya.

Mari kita coba lagi dengan syarat modus = 9 (tunggal).
Data terurut: a, b, 9, d, e.
Jumlah = 35.
Median = 9.
Modus = 9 (artinya 9 muncul paling sering).

Agar jangkauan maksimal (e - a), kita buat a sekecil mungkin (a=1) dan e sebesar mungkin.

Kemungkinan data agar modus=9 tunggal dan jangkauan maksimal:

1. 9 muncul 3 kali.
   Data: 1, x, 9, 9, 9
   Jumlah = 1 + x + 9 + 9 + 9 = 35 => 28 + x = 35 => x = 7.
   Data: 1, 7, 9, 9, 9. Urut: Ya. Rata-rata: 7. Median: 9. Modus: 9 (muncul 3 kali, angka lain 1 kali). Jangkauan = 9 - 1 = 8.

2. 9 muncul 2 kali, dan angka lain muncul 1 kali.
   Data: a, b, 9, d, e.
   Agar modus 9 tunggal, frekuensi angka lain harus 1.
   Misal: a=1. Data: 1, b, 9, d, e.
   Jumlah = 1 + b + 9 + d + e = 35 => b + d + e = 25.
   Urut: 1 <= b <= 9 <= d <= e.
   Agar jangkauan maksimal, b minimal, d minimal, e maksimal.
   Minimal b = 1. Data: 1, 1, 9, d, e. (Ini menyebabkan modus tidak tunggal jika 1 muncul 2 kali).
   Jadi, b harus > 1 atau nilai lain harus muncul > 1 kali.
   Agar modus tunggal 9, maka angka lain (selain 9) hanya boleh muncul sekali.

   Mari kita pilih b = 2 (minimal > 1).
   Data: 1, 2, 9, d, e.
   Jumlah = 1 + 2 + 9 + d + e = 35 => 12 + d + e = 35 => d + e = 23.
   Urut: 1 <= 2 <= 9 <= d <= e.
   Agar e maksimal, d harus minimal. Minimal d = 9.
   Jika d = 9, maka e = 23 - 9 = 14.
   Data: 1, 2, 9, 9, 14. Urut: Ya. Rata-rata: 7. Median: 9. Modus: 9 (muncul 2 kali, angka lain 1 kali). Jangkauan = 14 - 1 = 13.

   Sekarang, mari kita coba agar 'd' lebih besar sedikit untuk melihat apakah 'e' bisa lebih besar lagi.
   Jika d = 10, maka e = 23 - 10 = 13.
   Data: 1, 2, 9, 10, 13. Urut: Ya. Rata-rata: 7. Median: 9. Modus: 9 (muncul 1 kali, angka lain 1 kali - ini tidak benar, modus harus muncul paling sering. Jadi, data ini tidak memenuhi syarat modus=9).

   Agar modus = 9, maka 9 harus muncul paling banyak.
   Jadi, kasus 1 (9 muncul 3 kali) dan kasus 2 (9 muncul 2 kali, angka lain muncul 1 kali) adalah kandidat.

   Kembali ke Subkasus 2b: Data: 1, b, 9, 9, e. b + e = 16. Urut: 1 <= b <= 9 dan 9 <= e. Modus 9 tunggal.
   Agar modus 9 tunggal, maka 'b' tidak boleh sama dengan 1 jika 'e' juga 1. Dan 'b' tidak boleh sama dengan 9 jika 'e' juga 9.
   Kita perlu memastikan frekuensi 9 lebih tinggi dari frekuensi b.
   Jika b = 1, maka e = 15. Data: 1, 1, 9, 9, 15. Frekuensi 1 adalah 2, frekuensi 9 adalah 2. Modus tidak tunggal.
   Jika b = 2, maka e = 14. Data: 1, 2, 9, 9, 14. Frekuensi 1, 2, 14 adalah 1. Frekuensi 9 adalah 2. Modus = 9 (tunggal). Jangkauan = 14 - 1 = 13.
   Jika b = 3, maka e = 13. Data: 1, 3, 9, 9, 13. Modus = 9 (tunggal). Jangkauan = 13 - 1 = 12.
   Jika b = 7, maka e = 9. Data: 1, 7, 9, 9, 9. Frekuensi 1 dan 7 adalah 1. Frekuensi 9 adalah 3. Modus = 9 (tunggal). Jangkauan = 9 - 1 = 8.

Dari semua kemungkinan yang memenuhi syarat:
- Data: 1, 7, 9, 9, 9. Jangkauan = 8.
- Data: 1, 2, 9, 9, 14. Jangkauan = 13.

Jadi, jangkauan terbesar yang mungkin adalah 14 - 1 = 13.

Penjelasan langkah demi langkah:
1. Identifikasi sifat data: 5 bilangan bulat positif, rata-rata 7, median 9, modus 9.
2. Rata-rata 7 berarti jumlah data = 5 * 7 = 35.
3. Median 9 berarti data ke-3 (setelah diurutkan) adalah 9.
4. Modus 9 berarti 9 adalah nilai yang paling sering muncul.
5. Untuk mendapatkan jangkauan terbesar, kita perlu memaksimalkan data terbesar (e) dan meminimalkan data terkecil (a).
6. Data terkecil (a) adalah bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1.
7. Data terurut: 1, b, 9, d, e.
8. Agar modus 9 tunggal, frekuensi angka lain harus lebih kecil dari frekuensi 9. Paling aman adalah frekuensi 9 adalah 2 atau 3, dan angka lain muncul sekali.

Jika 9 muncul 2 kali:
   - Data bisa berbentuk 1, b, 9, 9, e (dengan 1 <= b < 9 dan 9 < e).
     Jumlah: 1 + b + 9 + 9 + e = 35 => b + e = 16.
     Agar 'e' maksimal, 'b' harus minimal. 'b' harus > 1 agar modus 9 tunggal (jika b=1, data jadi 1,1,9,9,e dan modus tidak tunggal).
     Minimal b = 2. Maka e = 16 - 2 = 14.
     Data: 1, 2, 9, 9, 14. (Rata-rata=7, Median=9, Modus=9. Jangkauan = 14-1=13).

Jika 9 muncul 3 kali:
   - Data bisa berbentuk 1, b, 9, 9, 9 (dengan 1 <= b < 9).
     Jumlah: 1 + b + 9 + 9 + 9 = 35 => 28 + b = 35 => b = 7.
     Data: 1, 7, 9, 9, 9. (Rata-rata=7, Median=9, Modus=9. Jangkauan = 9-1=8).

Membandingkan jangkauan yang mungkin, jangkauan terbesar adalah 13.