Himpunan penyelesaian persamaan akar(3)cos x-3sin x=akar(3)

{0, 120, 360}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri akar(3)cos x - 3sin x = akar(3) untuk 0 <= x <= 360 derajat, kita dapat menggunakan metode mengubah bentuk a cos x + b sin x menjadi R cos(x + alpha).

Dalam kasus ini, a = akar(3) dan b = -3.

R = akar(a^2 + b^2) = akar((akar(3))^2 + (-3)^2) = akar(3 + 9) = akar(12) = 2 akar(3).

Untuk mencari alpha, kita gunakan tan(alpha) = b/a = -3 / akar(3) = -akar(3).
Karena a positif (akar(3)) dan b negatif (-3), alpha berada di kuadran IV. Sudut referensi adalah 60 derajat. Jadi, alpha = 360 - 60 = 300 derajat, atau -60 derajat.

Persamaan menjadi R cos(x + alpha) = akar(3).
2 akar(3) cos(x + 300) = akar(3).
cos(x + 300) = akar(3) / (2 akar(3)) = 1/2.

Kita tahu bahwa cos(theta) = 1/2 ketika theta = 60 derajat atau theta = 300 derajat.

Kasus 1: x + 300 = 60 + k * 360
x = 60 - 300 + k * 360
x = -240 + k * 360.
Untuk k = 1, x = -240 + 360 = 120 derajat.

Kasus 2: x + 300 = 300 + k * 360
x = 300 - 300 + k * 360
x = 0 + k * 360.
Untuk k = 0, x = 0 derajat.
Untuk k = 1, x = 360 derajat.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0, 120, 360} derajat.

Alternatif lain, kita bisa membagi seluruh persamaan dengan akar(3):
cos x - (3/akar(3)) sin x = 1
cos x - akar(3) sin x = 1.

Sekarang kita ubah bentuk R cos(x + alpha) dengan a=1 dan b=-akar(3).
R = akar(1^2 + (-akar(3))^2) = akar(1 + 3) = akar(4) = 2.
tan(alpha) = b/a = -akar(3)/1 = -akar(3).
Karena a positif dan b negatif, alpha di kuadran IV, yaitu 300 derajat atau -60 derajat.

Persamaan menjadi 2 cos(x + 300) = 1.
cos(x + 300) = 1/2.

x + 300 = 60 + k * 360  atau  x + 300 = 300 + k * 360
x = -240 + k * 360   atau  x = 0 + k * 360

Untuk 0 <= x <= 360:
x = 120 (dari -240 + 360)
x = 0 (dari 0 + 0)
x = 360 (dari 0 + 360)

Himpunan penyelesaiannya adalah {0, 120, 360} derajat.